گام به گام ریاضیات گسسته - درس 1: استدلال ریاضی | استاد ملاسعیدی

$\alpha $ و $\beta $ به ترتیب گویا و گنگ هستند. اگر $\alpha \beta $ عددی گویا باشد، چه تعداد از اعداد $(\alpha - 1)\beta $ و $(\beta + 1)\alpha $ و $\frac{{\alpha + \beta }}{{\alpha - \beta }}$ قطعاً گنگ هستند؟

اگر x و y دو عدد حقیقی مخالف صفر باشند، آنگاه $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ متعلق به کدام بازه است؟

کدام یک مثال نقض مناسبی برای رد گزاره " اگر آلفا گنگ باشد،آنگاه $\left ( \left | \alpha \right |+۱ \right )^{۲}$ نیز گنگ است " است ؟

چند گزاره از گزاره‌های زیر درست است و اثبات آن نیز از طریق برهان خلف مناسب‌تر است؟

الف) حاصل جمع دو عدد گنگ، عددی گنگ است.

ب) اگر $a_{۳},a_{۲},a_{۱} $  عددهایی صحیح و $b_{۳},b_{۲},b_{۱} $  هم همان اعداد ولی با ترتیب دیگری باشند، عدد$\left ( a_{۱}-b_{۱} \right )\left ( a_{۲}-b_{۲} \right )\left ( a_{۳}-b_{۳} \right )$  زوج است.

پ) اگر تابع  $f$در $x=a$ پیوسته ولی $g$ در  $x=a$ ناپیوسته باشد، تابع  $f+g$ در $x=a$ ناپیوسته است.

ت) اگر $a$ یک عدد حقیقی مثبت باشد آنگاه  $a+\frac{۱}{a}\geq ۲$  .

برای اثبات گزاره‌ی «اگر $p>۳$ عددی اول باشد، به یکی از دو صورت $p=۶k+۱$ یا $p=۶k+۵$ نوشته می‌شود.» از کدام هم‌ارزی استفاده می‌کنیم؟