شرکت در آزمون آنلاین حسابان (2) - فصل ٤: مشتق

1- هر یک از توابع زیر در بازۀ $[a\,,\,b]$ تعریف شده است، در کدام گزینه آهنگ متوسط در بازۀ $[a\,,\,b]$ منفی و کمتر از آهنگ لحظه‌ای در $x = b$ است؟

2- مقدار مشتق تابع $f(x) = {\sin ^2}x\cos x$ به ازای $x = \frac{\pi }{4}$ چقدر است؟

\[\frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

\[\frac{{\sqrt 2 }}{8}\]

\[\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\]

\[\frac{{3\sqrt 2 }}{8}\]

3- f تابعی مشتق‌پذیر است، به‌طوری که \[f'(1) = - 2\] و \[f(1) = 0\] است. مقدار \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{\sqrt[{}]{{f(\sin x)}}}}{{\cos x}}\] برابر کدام عدد است؟

\[1\]

\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[\sqrt 2 \]

\[\frac{1}{2}\]

4- متحرکی در امتداد خط راست طبق معادلة \[d(t) = - 5{t^2} + 20\,t\] حرکت می‌کند، سرعت متوسط این متحرک در بازة زمانی \[[1,5]\] چقدر از سرعت لحظه‌ای آن در زمان \[t = 3\] بیشتر است؟

\[10\]

\[20\]

صفر

\[ - 10\]

5- نمودار تابع f به صورت مقابل است. اختلاف مشتق چپ و راست تابع $y = \,|{x^2} - 4|.[f(x)]$ در نقطة $x = 2$ چقدر است؟