درون کره‌ای به شعاع 10، بزرگ‌ترین استوانۀ ممکن با شعاع قاعدۀ استوانه $5\sqrt 3 $ جای گرفته است، ارتفاع استوانه کدام است؟

مخروط قائمی را به کمک صفحه‌ای موازی قاعده و از وسط ارتفاع آن برش می‌زنیم. حجم قسمت بزرگ‌تر چند برابر قسمت کوچک‌تر است؟

دایره‌ای بر خطوط $x = 5$، $x = - 1$ و از پایین $y = 7$ مماس است. این دایره از خط $x = 4$ چه طولی را جدا می‌کند؟

دو دایره به مراکز $(2\,,\,0)$ و $( - 1\,,\,3)$ و شعاع‌های $\sqrt 8 $ و r مماس درون هستند. در این صورت مقدار ${r^2}$ کدام است؟

یک بیضی قائم داخل دایره‌ای به معادلۀ ${x^2} + {y^2} - 4x + 4y = 1$ و هم‌مرکز با آن طوری قرار گرفته است که با نمودار دایره دقیقاً در دو نقطه برخورد می‌کند. در این صورت مجموع فواصل هر نقطه روی بیضی از کانون‌های آن چقدر است؟