راهنمایی کوتاه: برای اینکه مثلث در هر دمایی قائمالزاویه بماند، باید رابطهای بین ضرایب انبساط خطی میلهها برقرار باشد.
گامبهگام:
- ۱) فرض میکنیم طولهای اولیه میلهها a، b و c هستند که c وتر مثلث قائمالزاویه است.
- ۲) طبق قضیه فیثاغورس: a² + b² = c²
- ۳) با افزایش دما، طول هر میله تغییر میکند: L = L₀(1 + αΔT) که α ضریب انبساط خطی است.
- ۴) پس از تغییر دما:
a' = a(1 + α_aΔT)
b' = b(1 + α_bΔT)
c' = c(1 + α_cΔT) - ۵) برای اینکه مثلث همچنان قائمالزاویه بماند، باید در هر دمایی: a'² + b'² = c'²
- ۶) با جایگذاری و سادهسازی (و با توجه به اینکه αΔT کوچک است، از تقریب استفاده میکنیم)، به رابطه میرسیم:
a²α_a + b²α_b = c²α_c - ۷) با استفاده از a² + b² = c² و شرط مسئله که α_a = 2α_b، میتوان α_c را برحسب α_b پیدا کرد.
پاسخ نهایی: با حل معادلات بالا و با فرض a و b دلخواه (مثلاً a = b برای سادگی)، به رابطه α_c = (a²α_a + b²α_b)/c² میرسیم. اگر a = b و α_a = 2α_b و c = a√۲ باشد، آنگاه α_c = ۱.۵α_b خواهد شد.
مثال مشابه: اگر سه میله با ضرایب انبساط ۰.۰۰۰۰۱، ۰.۰۰۰۰۲ و ۰.۰۰۰۰۱۵ داشته باشیم و مثلثی با اضلاع مساوی بسازیم، در هر دمایی مثلث متساویالاضلاع باقی میماند.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: درباره انبساط گرمایی مواد و اثر آن بر اشکال هندسی مطالعه کن. میتوانی مسئله را برای مثلث متساویالاضلاع یا مربع نیز حل کنی.
