راهنمایی کوتاه: در این مسئله باید از قانون پایستگی انرژی مکانیکی با در نظر گرفتن کار نیروی مقاومت هوا استفاده کنیم.
گامبهگام:
- ۱) ابتدا دادهها را مشخص میکنیم:
جرم گلوله: m = 500 گرم = 0.5 کیلوگرم
سرعت اولیه: v₀ = 24 متر بر ثانیه
نیروی مقاومت هوا: F = 1 نیوتون (ثابت در کل مسیر)
شتاب گرانش: g ≈ 10 متر بر مجذور ثانیه - ۲) در نقطهای که انرژی جنبشی (K) و انرژی پتانسیل گرانشی (U) برابر میشوند، داریم:
K = U → (1/2)mv² = mgh → v² = 2gh - ۳) کل مسیر رفت و برگشت را در نظر میگیریم. نیروی مقاومت هوا همیشه در خلاف جهت حرکت است، بنابراین کار آن منفی و به اندازهی حاصلضرب نیرو در کل جابهجایی است.
- ۴) از قانون پایستگی انرژی با در نظر گرفتن کار نیروی مقاومت استفاده میکنیم:
انرژی مکانیکی اولیه + کار نیروی مقاومت = انرژی مکانیکی در نقطه مورد نظر
(1/2)mv₀² + (-F × d) = K + U = 2U (چون K = U)
پس: (1/2)mv₀² - F × d = 2mgh - ۵) در این رابطه، d کل مسافتی است که گلوله از نقطه پرتاب تا نقطه مورد نظر در مسیر بازگشت طی کرده است. اگر ارتفاع نقطه مورد نظر را h بنامیم، در مسیر رفت گلوله تا بالاترین نقطه (ارتفاع H) رفته و سپس در مسیر برگشت تا ارتفاع h پایین آمده است. بنابراین:
d = H + (H - h) = 2H - h - ۶) ارتفاع بیشینه (H) را با در نظر گرفتن مقاومت هوا حساب میکنیم. در مسیر رفت، کار نیروی مقاومت: -F×H. پس:
(1/2)mv₀² - F×H = mgH → H = (mv₀²)/(2(mg+F))
با جایگذاری اعداد: H = (0.5×24²)/(2×(0.5×10+1)) = (288)/(2×(5+1)) = 288/12 = 24 متر - ۷) حالا d و H را در رابطه اصلی جایگذاری میکنیم:
(1/2)×0.5×24² - 1×(2×24 - h) = 2×0.5×10×h
144 - (48 - h) = 10h
144 - 48 + h = 10h
96 = 9h
h = 96/9 ≈ 10.67 متر
پاسخ نهایی: ارتفاعی که در مسیر بازگشت، انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی گلوله با هم برابر میشود، حدود ۱۰.۷ متر از سطح زمین است.
مثال مشابه: اگر گلولهای با جرم ۲۰۰ گرم و سرعت اولیه ۲۰ متر بر ثانیه به سمت بالا پرتاب شود و نیروی مقاومت هوا ۰.۵ نیوتون باشد، میتوان با همین روش ارتفاع برابری انرژیها را محاسبه کرد.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی مسئله را بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا حل کنی (h ≈ ۱۴.۴ متر میشود) و ببینی مقاومت هوا چگونه ارتفاع را کاهش میدهد. همچنین میتوانی نمودار انرژیها بر حسب ارتفاع را رسم کنی.
