کار نیروی مقاومت هوا و اندازه آن

راهنمایی کوتاه: از قانون پایستگی انرژی مکانیکی و کار-انرژی استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) داده‌ها: جرم توپ m = 1 kg، سرعت اولیه v₁ = 12 m/s (به بالا)، سرعت در بازگشت v₂ = 10 m/s (به پایین)، ارتفاع اوج h = 5 m (در قسمت ب).
• ۲) قسمت الف: کار نیروی مقاومت هوا W_f را در کل مسیر رفت و برگشت می‌خواهیم. انرژی مکانیکی اولیه: E₁ = ½ m v₁² = ½ × 1 × 12² = 72 J.
• ۳) انرژی مکانیکی در بازگشت (در همان نقطه پرتاب): E₂ = ½ m v₂² = ½ × 1 × 10² = 50 J.
• ۴) کاهش انرژی مکانیکی برابر کار نیروی مقاومت هوا در کل مسیر است: W_f = E₂ – E₁ = 50 – 72 = –22 J. علامت منفی نشان‌دهنده این است که نیروی مقاومت هوا کار منفی انجام داده (انرژی کم شده).
• ۵) قسمت ب: اگر نیروی مقاومت هوا ثابت باشد، در مسیر فقط بالا رفتن، کار آن W_f_up = –F × h است که F اندازه نیرو و h = 5 m ارتفاع اوج است.
• ۶) برای مسیر بالا: کاهش انرژی مکانیکی از نقطه پرتاب تا اوج: ΔE = (½ m v₁²) – (m g h) = 72 – (1×10×5) = 72 – 50 = 22 J. این کاهش به دلیل کار نیروی مقاومت هوا و وزن است، اما کار وزن جزو انرژی پتانسیل محاسبه شده. پس کاهش 22 J فقط بخاطر مقاومت هواست: |W_f_up| = F × h = 22 → F = 22 / 5 = 4.4 N.

پاسخ نهایی:

• الف) کار نیروی مقاومت هوا در کل مسیر رفت و برگشت: ۲۲- ژول (۲۲ ژول انرژی تلف شده).
• ب) اندازه نیروی مقاومت هوا (اگر ثابت باشد): ۴.۴ نیوتن.

مثال مشابه: اگر توپی با جرم ۰.۵ کیلوگرم و سرعت اولیه ۸ m/s به بالا پرتاب شود و با سرعت ۶ m/s برگردد، کار مقاومت هوا: W_f = ½×۰.۵×۶² – ½×۰.۵×۸² = ۹ – ۱۶ = –۷ J.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی مسئله را با در نظر گرفتن کار نیروی وزن هم جداگانه بررسی کنی یا اثر مقاومت هوا را در معادلات حرکت با شتاب ثابت تحلیل کنی.

راهنمایی کوتاه: از اصل کار و انرژی برای حل این مسئله استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) اطلاعات مسئله را یادداشت می‌کنیم:
  جرم توپ (m) = 1 kg
  سرعت اولیه (v₁) = 12 m/s
  سرعت در بازگشت (v₂) = 10 m/s (علامت منفی دارد چون جهت مخالف است)
  شتاب گرانش (g) ≈ 10 m/s²
  ارتفاع (h) = 5 m (برای قسمت ب)
• ۲) برای قسمت (الف): از اصل کار و انرژی کل استفاده می‌کنیم. تغییر انرژی مکانیکی کل برابر کار نیروهای غیرپایستار (مقاومت هوا) است:
  W_مقاومت = ΔE_{مکانیکی} = ΔK + ΔU
• ۳) انرژی جنبشی اولیه و نهایی را محاسبه می‌کنیم:
  K₁ = ½ × m × v₁² = ½ × 1 × (12)² = 72 J
  K₂ = ½ × m × v₂² = ½ × 1 × (10)² = 50 J
  توجه: v₂ در بازگشت منفی است ولی مربع آن مثبت می‌شود.
• ۴) تغییر انرژی پتانسیل گرانشی: از آنجایی که توپ به نقطه پرتاب بازمی‌گردد، ارتفاع نهایی همان ارتفاع اولیه است، بنابراین ΔU = 0.
• ۵) کار نیروی مقاومت هوا:
  W_مقاومت = (K₂ - K₁) + 0 = (50 - 72) = -22 J
  علامت منفی نشان می‌دهد نیروی مقاومت هوا در خلاف جهت حرکت، کار انجام داده است.
• ۶) برای قسمت (ب): با فرض ثابت بودن نیروی مقاومت هوا (F_مقاومت) و استفاده از ارتفاع 5 متر. کل کار نیروی مقاومت در رفت و برگشت: W_کل = F_مقاومت × 2h (چون در هر دو مسیر کار انجام می‌دهد).
  از طرفی W_کل = -22 J (از قسمت الف).
  پس: F_مقاومت × (2 × 5) = 22 → F_مقاومت × 10 = 22 → F_مقاومت = 2.2 N

پاسخ نهایی:

• الف) کار نیروی مقاومت هوا: ۲۲- ژول (علامت منفی نشان‌دهنده اتلاف انرژی است).
• ب) اندازه نیروی مقاومت هوا (با فرض ثابت بودن): ۲٫۲ نیوتن.

مثال مشابه: اگر توپی با جرم 0.5 کیلوگرم را با سرعت 8 m/s به بالا پرتاب کنیم و با سرعت 6 m/s برگردد، کار نیروی مقاومت می‌شود:
W = ½ × 0.5 × (6² - 8²) = 0.25 × (36 - 64) = 0.25 × (-28) = -7 J.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی مسئله را با در نظر گرفتن کار نیروی مقاومت فقط در مسیر بالا یا فقط در مسیر پایین هم حل کنی و ببینی آیا به جواب یکسانی می‌رسی؟ همچنین می‌توانی اثر مقاومت هوا بر زمان پرواز را بررسی کنی.