مقایسه تندی جسم در دو لحظه مختلف

راهنمایی کوتاه: با استفاده از معادلات حرکت با شتاب ثابت (سقوط آزاد) و نسبت‌های داده شده، نسبت تندی‌ها را محاسبه می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض می‌کنیم شتاب ثابت گرانش g است و جسم از ارتفاع H رها می‌شود. معادله مکان بر حسب زمان در سقوط آزاد: $y=H-\frac{1}{2}g{t}^2$
• ۲) در لحظه t₁ = 1 ثانیه، ارتفاع جسم ۸/۹ H است. یعنی: $\frac{8}{9}H=H-\frac{1}{2}g(1{)}^2$. از این معادله رابطه بین H و g را پیدا می‌کنیم.
• ۳) حل معادله بالا: $\frac{8}{9}H=H-\frac{1}{2}g$ → $H-\frac{8}{9}H=\frac{1}{2}g$ → $\frac{1}{9}H=\frac{1}{2}g$ → $H=\frac{9}{2}g$.
• ۴) در لحظه t₂ = 2 ثانیه، ارتفاع جسم ۵/۹ H است (طبق صورت سوال: «از ارتفاع ۵/۹ متر عبور کنه» که منظور ۵/۹ H است). معادله مکان: $\frac{5}{9}H=H-\frac{1}{2}g(2{)}^2$. این معادله را با جایگذاری H از مرحله قبل بررسی می‌کنیم تا مطمئن شویم داده‌ها سازگارند.
• ۵) معادله سرعت در سقوط آزاد: $v=gt$ (چون سرعت اولیه صفر است). بنابراین: $v_1=g\times 1=g$ و $v_2=g\times 2=2g$.
• ۶) نسبت تندی‌ها: $\frac{v_2}{v_1}=\frac{2g}{g}=2$.

پاسخ نهایی: تندی جسم در لحظه دو ثانیه، ۲ برابر تندی آن در لحظه یک ثانیه است.

مثال مشابه: اگر جسمی از ارتفاعی رها شود و پس از ۱ ثانیه سرعتش ۱۰ m/s باشد، پس از ۲ ثانیه سرعتش ۲۰ m/s خواهد بود (با فرض شتاب ثابت g≈۱۰ m/s²).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی معادلات حرکت با شتاب ثابت را برای حالت‌های مختلف (پرتاب به بالا، پرتاب با زاویه) تمرین کنی. همچنین می‌توانی نمودار سرعت-زمان و مکان-زمان را برای این مسئله رسم کنی.

یادآوری ایمنی: در آزمایش‌های مربوط به سقوط اجسام، مراقب باش اجسام سنگین را از ارتفاع رها نکنی که باعث آسیب شود.

راهنمایی کوتاه: با استفاده از معادلات حرکت با شتاب ثابت (سقوط آزاد) و نسبت‌های داده شده، نسبت تندی‌ها را پیدا می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) در سقوط آزاد، شتاب ثابت و برابر g (شتاب گرانش) است. معادله مکان بر حسب زمان: $y=H-\frac{1}{2}g{t}^2$ که در آن y ارتفاع از سطح زمین است.
• ۲) در لحظه t₁ = 1 ثانیه، ارتفاع داده شده: y₁ = (8/9)H. این را در معادله قرار می‌دهیم:
  $\frac{8}{9}H=H-\frac{1}{2}g(1{)}^2$
  با حل این معادله: $\frac{1}{9}H=\frac{1}{2}g$ → $H=\frac{9}{2}g$
• ۳) در لحظه t₂ = 2 ثانیه، ارتفاع داده شده: y₂ = 5/9 متر (احتمالاً منظور 5/9 H است؟ اما صورت سؤال می‌گوید 5/9 متر. از آنجایی که H بر حسب g به دست آمد، می‌توان هر دو را بررسی کرد. با توجه به منطق سؤال، احتمالاً منظور 5/9 H است. فرض می‌کنیم y₂ = (5/9)H).
• ۴) معادله تندی در سقوط آزاد: v = g t (چون از حالت سکون رها شده). پس:
  v₁ = g × 1 = g
  v₂ = g × 2 = 2g
• ۵) نسبت تندی‌ها: v₂ / v₁ = (2g) / (g) = 2
• ۶) بررسی با ارتفاع داده شده: اگر y₂ واقعاً 5/9 متر باشد، باید H را از مرحله ۲ محاسبه کرده و سپس زمان t₂ را از معادله مکان بیابیم و بعد تندی را. اما با توجه به اعداد، احتمالاً منظور ساده‌تر است.

پاسخ نهایی: تندی جسم در لحظه t₂ = 2 ثانیه، دو برابر تندی آن در لحظه t₁ = 1 ثانیه است. (یعنی نسبت برابر ۲ می‌شود).

مثال مشابه: اگر جسمی از ارتفاعی رها شود، پس از ۱ ثانیه سرعتش برابر ۱۰ m/s (تقریبی) و پس از ۲ ثانیه برابر ۲۰ m/s می‌شود. نسبت ۲۰ به ۱۰ برابر ۲ است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: معادلات حرکت با شتاب ثابت را مرور کن: مکان $y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ و سرعت $v=v_0+at$. در سقوط آزاد، a = g و v₀ = 0.