اثبات رابطه بین کتانژانت زاویه φ و مساحت مثلث
در مثلث $ABC$، نقطه $P$ به گونه‌ای قرار دارد که $P\hat{A}B = P\hat{B}C = P\hat{C}A = \varphi$. برای اثبات رابطه $\cot(\varphi) = \frac{a² + b² + c²}{4S}$، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
- ابتدا مساحت مثلث $ABC$ را به کمک مساحت مثلث‌های کوچکتر $PAB$, $PBC$, $PCA$ بیان می‌کنیم: $S = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCA}$.
- با استفاده از فرمول مساحت مثلث، داریم: $S = \frac{1}{2}ca\sin(P\hat{A}B) + \frac{1}{2}ab\sin(P\hat{C}A) + \frac{1}{2}bc\sin(P\hat{B}C)$.
- با جایگزینی $P\hat{A}B = P\hat{B}C = P\hat{C}A = \varphi$، خواهیم داشت: $S = \frac{1}{2}(ca + ab + bc)\sin(\varphi)$.
- از طرف دیگر، با استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث‌ها، می‌توان نشان داد که: $a² + b² + c² = 2ca\cos(A) + 2ab\cos(B) + 2bc\cos(C)$.
- با استفاده از روابط مثلثاتی و جایگزینی در رابطه اصلی، به نتیجه می‌رسیم که: $\cot(\varphi) = \frac{a² + b² + c²}{4S}$.
بنابراین، رابطه مورد نظر اثبات شد.
