حل مسئله
ابتدا معادله داده شده را حل میکنیم: $x^4 - 7x^2 - 5 = 0$
با تغییر متغیر $y = x^2$، معادله به صورت $y^2 - 7y - 5 = 0$ درمیآید.
ریشههای این معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول دلتا به دست میآوریم:
با جایگذاری $a = 1$، $b = -7$ و $c = -5$ داریم:
از آنجا که $y = x^2$ است، مقادیر $y$ باید غیرمنفی باشند. بنابراین:
و
که غیرقابل قبول است.
پس $x^2 = y_1 = \frac{7 + \sqrt{69}}{2}$
ریشههای $x$ برابرند با:
مجموع ریشههای حقیقی $S = x_1 + x_2 = 0$ و حاصلضرب ریشههای حقیقی $P = x_1 \cdot x_2 = -y_1 = -\frac{7 + \sqrt{69}}{2}$
حال عبارت داده شده را محاسبه میکنیم:
با جایگذاری $S = 0$ و $P = -\frac{7 + \sqrt{69}}{2}$ داریم:
بنابراین مقدار عبارت برابر است با $\boxed{59+7\sqrt{69}}$
یادآوری ایمنی: در محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.
