در یک دنباله حسابی، مجموع پنج جمله سوم از مجموع جمله نخست ۲۰۰ واحد بیشتر است. برای حل این مسئله، ابتدا باید فرمول مجموع یک دنباله حسابی را بدانیم.
- فرمول جمله عمومی دنباله حسابی: $a_n = a_1 + (n-1)d$
- مجموع n جمله اول: $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$
اکنون به حل مسئله می‌پردازیم:
راهنمایی کوتاه: از فرمول مجموع برای محاسبه استفاده می‌کنیم.
گام‌به‌گام:
۱) مجموع پنج جمله اول را با استفاده از فرمول مجموع حساب می‌کنیم: $S_5 = \frac{5}{2}[2a_1 + (5-1)d] = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 5a_1 + 10d$
۲) مجموع پنج جمله سوم (جملات ۳ تا ۷) را محاسبه می‌کنیم. ابتدا مجموع ۷ جمله اول را حساب کرده و سپس مجموع ۲ جمله اول را از آن کم می‌کنیم: $S_{3-7} = S_7 - S_2 = \frac{7}{2}(2a_1 + 6d) - (2a_1 + d)$
۳) با ساده‌سازی، $S_{3-7} = 7a_1 + 21d - (2a_1 + d) = 5a_1 + 20d$
۴) طبق مسئله، $S_{3-7} = S_5 + 200$ پس $5a_1 + 20d = 5a_1 + 10d + 200$
۵) با ساده‌سازی معادله، $10d = 200$ پس $d = 20$
پاسخ نهایی: قدر نسبت دنباله ۲۰ است.
مثال مشابه: اگر مجموع ده جمله اول یک دنباله حسابی ۱۰۰ و قدر نسبت آن ۲ باشد، جمله اول آن را بیابید.
