برای اثبات این قضیه، مراحل زیر را دنبال میکنیم.
گامبهگام:
- ۱) فرض کنیم نقطهای مانند M روی زاویه A قرار دارد و از دو ضلع آن به یک فاصله است.
- ۲) دو مثلث قائمالزاویه AMH و AMK را در نظر میگیریم که در آنها MH و MK به ترتیب فاصله نقطه M از اضلاع AB و AC هستند.
- ۳) با توجه به فرض مسئله، MH = MK است.
- ۴) AM در هر دو مثلث مشترک است.
- ۵) با استفاده از قضیه وتر و یک ضلع، دو مثلث AMH و AMK همنهشت هستند.
- ۶) بنابراین زاویه HAM برابر با زاویه KAM است.
- ۷) پس نقطه M روی نیمساز زاویه A قرار دارد.
پاسخ نهایی: با توجه به مراحل بالا، اگر نقطهای از دو ضلع زاویه به یک فاصله باشد، روی نیمساز زاویه قرار دارد.
