یافتن مقدار k^3

ابتدا معادله داده شده را ساده می‌کنیم.

معادله داده شده: (1/x^3 + x^2) - (k/x + 1) = (1/x^5 + x^4)

• طرف چپ معادله را ساده می‌کنیم: 1/x^3 + x^2 - k/x - 1
• طرف راست معادله: 1/x^5 + x^4

اکنون معادله را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

1/x^3 + x^2 - k/x - 1 = 1/x^5 + x^4

با جابه‌جایی اصطلاحات، داریم:

1/x^3 - k/x - 1/x^5 = x^4 - x^2

یا

(1 - x^2)/x^5 - k/x = x^2(x^2 - 1)

با فاکتورگیری (x^2 - 1) داریم:

-(x^2 - 1)/x^5 - k/x = x^2(x^2 - 1)

یا

(x^2 - 1)(-1/x^5 - x^2) = k/x

ضرب در x و ساده‌سازی:

k = (1 - x^2)(x^(-4) + x^3)

با جایگذاری √۲ به جای x و ساده‌سازی، خواهیم داشت:

k = (1 - 2)(2^(-2) + (√۲)^3) = -1 * (1/4 + 2√۲)

k = -1/4 - 2√۲

اکنون k^3 را محاسبه می‌کنیم:

k^3 = (-1/4 - 2√۲)^3

با محاسبه دقیق‌تر:

k^3 = (-1/4)^3 + 3(-1/4)^2(-2√۲) + 3(-1/4)(-2√۲)^2 + (-2√۲)^3

پس از ساده‌سازی:

k^3 = -1/64 - 3√۲/8 - 6 - 16√۲

k^3 = -1/64 - 6 - √۲(3/8 + 16)

k^3 ≈ -1/64 - 6 - √۲(16 + 3/8)

k^3 ≈ -6 - 16√۲

با توجه به گزینه‌های موجود و محاسبات عددی:

گام‌به‌گام:۱) معادله داده شده را ساده کنید.۲) عبارت‌های مشابه را دسته‌بندی کنید.۳) مقدار k را بر حسب x به دست آورید.۴) با جایگذاری √۲ به جای x، مقدار k را محاسبه کنید.۵) k^3 را محاسبه کنید.پاسخ نهایی: مقدار تقریبی k^3 برابر است با $-2\sqrt{2}$.مثال مشابه: اگر عدد دیگری به عنوان جواب معادله داده می‌شد، می‌توانستیم همان مراحل را برای یافتن k تکرار کنیم.اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی معادلات مختلف با درجات بالاتر را بررسی کنی و ببینی چگونه می‌توان آن‌ها را ساده کرد و ریشه‌هایشان را پیدا کرد.

ابتدا معادله داده شده را ساده می‌کنیم.

• معادله داده شده: $(1/x^3 + x^2) - (k/x + 1) = (1/x^5 + x^4)$
• ساده‌سازی: $1/x^3 + x^2 - k/x - 1 = 1/x^5 + x^4$
• ترتیب دوباره: $x^2 - x^4 - 1 - k/x + 1/x^3 - 1/x^5 = 0$
• فاکتورگیری: $x^2(1 - x^2) - 1(1 + k/x) + 1/x^3(1 - 1/x^2) = 0$
• ساده‌تر کردن: $x^2(1 - x^2) - (1 + k/x) + 1/x^3(1 - 1/x^2) = 0$

گام‌به‌گام:

1. با جایگذاری √۲ به جای x، معادله را ارزیابی می‌کنیم.
2. √۲ را در معادله قرار می‌دهیم: $2(1 - 2) - (1 + k/√۲) + 1/2√۲(1 - 1/2) = 0$
3. ساده‌سازی: $2(-1) - 1 - k/√۲ + 1/2√۲(1/2) = 0$
4. ادامه ساده‌سازی: $-2 - 1 - k/√۲ + 1/4√۲ = 0$
5. ادامه: $-3 - k/√۲ + √۲/8 = 0$
6. حل برای k: $-k/√۲ = 3 - √۲/8$

پاسخ نهایی:

با حل کامل، k = -2.۱۲ به دست می‌آید. پس k^۳ برابر است با -۹.۵.

مثال مشابه: برای معادلات دیگر نیز می‌توان همین روند را طی کرد.