یافتن تابع وارون Y=X²-۴X+۷

یازدهم ریاضی 2 (رشته تجربی)

تابع وارون Y=X۲_۴X+۷ کدام است؟

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای یافتن تابع وارون، ابتدا باید دامنه تابع را محدود کنیم تا یک‌به‌یک شود، سپس معادله را برحسب X حل کرده و جای X و Y را عوض کنیم.

گام‌به‌گام:

تابع داده شده یک سهمی است: $Y = X^{2} - 4 X + 7$ . این تابع در کل دامنه خود یک‌به‌یک نیست.
برای یک‌به‌یک کردن، رأس سهمی را پیدا می‌کنیم. مختصات رأس: $X = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (-4)}{2 \times 1} = 2$ .
دامنه تابع را به $X \geq 2$ (یا $X \leq 2$ ) محدود می‌کنیم تا تابع یک‌به‌یک شود. معمولاً شاخه راست را در نظر می‌گیریم: $X \geq 2$ .
معادله $Y = X^{2} - 4 X + 7$ را برحسب X حل می‌کنیم. ابتدا مربع کامل می‌کنیم:
$Y = (X^{2} - 4 X + 4) + 3 = (X - 2)^{2} + 3$ .
پس $(X - 2)^{2} = Y - 3$ .
با توجه به دامنه $X \geq 2$ ، داریم $X - 2 \geq 0$ . بنابراین جذر مثبت می‌گیریم:
$X - 2 = \sqrt{Y - 3}$ → $X = \sqrt{Y - 3} + 2$ .
حالا جای X و Y را عوض می‌کنیم تا تابع وارون به دست آید:
$f^{- 1} (X) = \sqrt{X - 3} + 2$ .

پاسخ نهایی: تابع وارون برای دامنه $X \geq 2$ برابر است با:
$f^{- 1} (X) = \sqrt{X - 3} + 2$ ، به شرطی که $X \geq 3$ (چون عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد).

مثال مشابه: تابع $Y = X^{2} + 2 X + 5$ را در نظر بگیر. ابتدا مربع کامل کن: $Y = (X + 1)^{2} + 4$ . اگر دامنه را $X \geq - 1$ بگیریم، وارون آن می‌شود: $f^{- 1} (X) = \sqrt{X - 4} - 1$ .

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن وارون تابع $Y = X^{2} - 6 X + 10$ را برای دامنه $X \geq 3$ پیدا کنی. مراحل مربع کامل کردن و حل معادله را دقیقاً انجام بده.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هوش مصنوعی تراز

پاسخ هوش مصنوعی تراز

یافتن تابع وارون برای $y = x^2 - 4x + 7$

تابع درجهٔ دو به صورت کلی روی تمام اعداد حقیقی یک‑به‑یک نیست؛ به همین دلیل نمی‌توان یک تابع وارون یکتا برای آن تعریف کرد مگر اینکه دامنهٔ آن را به بازه‌ای که تابع در آن یکنواخت (صعودی یا نزولی) باشد، محدود کنیم.

گام‌های حل

معادلهٔ $y = x^2 - 4x + 7$ را به شکل تکمیل مربع بنویسید: $$y = (x-2)^2 + 3$$
از اینجا $(x-2)^2 = y-3$ به دست می‌آید.
هر دو ریشهٔ مثبت و منفی را در نظر بگیرید: $$x-2 = \pm\sqrt{y-3}$$ $$x = 2 \pm \sqrt{y-3}$$
نتیجه: برای هر مقدار $y \ge 3$ دو مقدار ممکن برای $x$ وجود دارد. بنابراین تابع وارون به دو شاخه تقسیم می‌شود:

اگر دامنهٔ اصلی را به بازهٔ $[2,\infty)$ (جایی که تابع صعودی است) محدود کنیم، وارون به صورت $$f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y-3},\qquad y \ge 3$$ خواهد بود.
اگر دامنهٔ اصلی را به بازهٔ $(-\infty,2]$ (جایی که تابع نزولی است) محدود کنیم، وارون به صورت $$f^{-1}(y) = 2 - \sqrt{y-3},\qquad y \ge 3$$ خواهد بود.

جمع‌بندی

بدون محدود کردن دامنه، $y = x^2 - 4x + 7$ وارون یکتایی ندارد. با انتخاب یکی از دو بازهٔ $[2,\infty)$ یا $(-\infty,2]$ می‌توان یک تابع وارون تک‌مقدار به دست آورد که دامنهٔ آن $[3,\infty)$ است.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن تابع وارون، ابتدا باید دامنه تابع را محدود کنیم تا تابع یک‌به‌یک شود.

گام‌به‌گام:

تابع داده شده: $y = x^{2} - 4 x + 7$
این یک تابع درجه دوم است و به شکل سهمی است. برای داشتن تابع وارون، باید آن را یک‌به‌یک کنیم. رأس سهمی نقطه‌ای است که تابع در آن یک‌به‌یک می‌شود. مختصات x رأس از فرمول $x = \frac{- b}{2 a}$ به دست می‌آید. در اینجا a=1 و b=-4 است. پس: $x = \frac{- (-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$
بنابراین، اگر دامنه را $x \geq 2$ (شاخه راست سهمی) یا $x \leq 2$ (شاخه چپ سهمی) در نظر بگیریم، تابع یک‌به‌یک می‌شود. معمولاً شاخه راست را انتخاب می‌کنیم: دامنه $x \in [2, + \infty)$ .
حال برای پیدا کردن وارون، x و y را جابه‌جا می‌کنیم و معادله را بر حسب y حل می‌کنیم:
$x = y^{2} - 4 y + 7$
معادله درجه دوم را بر حسب y مرتب می‌کنیم:
$y^{2} - 4 y + (7 - x) = 0$
با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم:
$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \times 1 \times (7 - x)}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28 + 4 x}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 x - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{2} = 2 \pm \sqrt{x - 3}$
از آنجایی که دامنه اصلی را $x \geq 2$ گرفتیم (که معادل $y \geq 3$ در تابع اصلی است، چون اگر x=2 را در تابع اصلی قرار دهیم، y=3 می‌شود)، پس در تابع وارون باید علامت مثبت را انتخاب کنیم تا مقدار y بزرگتر یا مساوی 2 شود (برعکس شود). بنابراین: $y = 2 + \sqrt{x - 3}$

پاسخ نهایی: تابع وارون، با در نظر گرفتن دامنه $x \geq 2$ برای تابع اصلی، به صورت زیر است:
$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{x - 3}$
با دامنه $x \geq 3$ (چون در تابع اصلی، برد $y \geq 3$ است).

مثال مشابه: تابع $y = x^{2} + 2 x + 5$ را در نظر بگیر. رأس آن $x = - 1$ است. اگر دامنه را $x \geq - 1$ بگیریم، وارون آن $f^{- 1} (x) = - 1 + \sqrt{x - 4}$ می‌شود.