نمودار تابع X-[X] و وارون‌پذیری

یازدهم ریاضی 2 (رشته تجربی)

نمودار تابع X-[X] را در بازه [-۲و۲) رسم کنید . آیا تابع وارون پذیر است؟

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هوش مصنوعی تراز

پاسخ هوش مصنوعی تراز

نمودار تابع $f(x)=x-[x]$ در بازه $[-2,2)$

تابع $f(x)=x-[x]$ همان جزء کسری $\{x\}$ است. برای هر عدد حقیقی $x$، $[x]$ بخش صحیح (پایین‌ترین عدد صحیح) و $\{x\}=x-[x]$ مقدار باقی‌مانده بین $0$ و $1$ است.

تعریف قطعه‌به‌قطعه

اگر $-2\le x< -1$ → $[x]=-2$ → $f(x)=x+2$ (خط مستقیم با شیب $1$ که از $\{0\}$ در $x=-2$ تا $\{1\}$ (بدون شامل) در $x\to-1$ می‌رود).
اگر $-1\le x< 0$ → $[x]=-1$ → $f(x)=x+1$ (از $0$ در $x=-1$ تا $1$ (بدون شامل) در $x\to0$).
اگر $0\le x< 1$ → $[x]=0$ → $f(x)=x$ (از $0$ در $x=0$ تا $1$ (بدون شامل) در $x\to1$).
اگر $1\le x< 2$ → $[x]=1$ → $f(x)=x-1$ (از $0$ در $x=1$ تا $1$ (بدون شامل) در $x\to2$).

شکل گراف

 1 ──┐ ┌───┐ ┌───┐ ┐
 │ │ │ │ │ │
 0 ──┼──────┼───┼──────┼───┼──────┼───── x
 -2 -1 0 1 2

در هر بازهٔ واحد، نمودار یک خط مستقیم با شیب $1$ است که از مقدار $0$ در نقطهٔ صحیح شروع می‌شود و به سمت $1$ پیش می‌رود (نقطهٔ $1$ در انتهای هر بازه شامل نمی‌شود).

آیا تابع وارون‌پذیر است؟

در کل بازه $[-2,2)$ تابع یک به یک نیست. به عنوان مثال

$f(0.3)=0.3$
$f(1.3)=0.3$

دو مقدار مختلف $x$ به یک مقدار $y$ می‌رسند، بنابراین $f$ وارون‌پذیر نیست.

اما اگر دامنه را به یکی از زیر‑بازه‌های $[n,n+1)$ (مثلاً $[0,1)$ یا $[1,2)$) محدود کنیم، روی آن بازه تابع یک به یک و بر onto $[0,1)$ است و وارون $f^{-1}(y)=y+n$ وجود دارد.

جمع‌بندی

تابع $f(x)=x-[x]$ یک تابع پله‌ای (سای‌توث) است که در هر بازهٔ واحد خطی با شیب $1$ دارد.
در بازهٔ $[-2,2)$ نمودار به شکل «دندانه‌دار» با چهار بخش مساوی است.
تابع در کل بازه وارون‌پذیر نیست؛ فقط روی هر زیر‑بازهٔ $[n,n+1)$ وارون دارد.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: این تابع، تابع جزءصحیح است که به صورت f(x)=x−[x] تعریف می‌شود و در بازه‌های واحد تکرار می‌شود.

گام‌به‌گام:

۱) ابتدا مفهوم [x] را مرور کنیم: [x] بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x است. مثلاً [1.7]=1، [2]=2، [-0.3]=-1.
۲) تابع f(x)=x−[x] را در نظر بگیرید. این تابع مقدار اعشاری x را نشان می‌دهد (فاصله x از بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی آن).
۳) در هر بازه به طول ۱، مثلاً [n, n+1) که n عدد صحیح است، داریم [x]=n. پس f(x)=x−n که یک خط راست با شیب ۱ است.
۴) در بازه [-۲,۲):
- برای x در [-۲,-۱): [x]=-۲ → f(x)=x+۲
- برای x در [-۱,۰): [x]=-۱ → f(x)=x+۱
- برای x در [۰,۱): [x]=۰ → f(x)=x
- برای x در [۱,۲): [x]=۱ → f(x)=x−۱
۵) نمودار در هر زیربازه یک پاره‌خط با شیب ۱ است که از نقطه (n,0) شروع می‌شود و تا (n+1,1) ادامه دارد (اما نقطه انتهایی باز باز است).
۶) برای وارون‌پذیری: یک تابع وارون‌پذیر است اگر یک‌به‌یک باشد (هر خروجی فقط از یک ورودی بیاید). در این تابع، مثلاً f(0.2)=0.2 و f(1.2)=0.2، پس یک‌به‌یک نیست. بنابراین وارون‌پذیر نیست.

پاسخ نهایی: نمودار تابع f(x)=x−[x] در بازه [-۲,۲) شامل چهار پاره‌خط با شیب ۱ است که در هر زیربازه به طول ۱ تکرار می‌شود. این تابع وارون‌پذیر نیست زیرا یک‌به‌یک نیست (مقادیر تابع در بازه [۰,۱) تکرار می‌شوند).

مثال مشابه: تابع g(x)=x−[x] در بازه [۰,۳) را در نظر بگیرید. در [۰,۱): g(x)=x، در [۱,۲): g(x)=x−۱، در [۲,۳): g(x)=x−۲. نمودار آن نیز پاره‌خط‌های تکراری است و وارون‌پذیر نیست.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی رفتار تابع جزءصحیح [x] را در بازه‌های مختلف بررسی کنی و رابطه آن با تابع فعلی را ببینی. همچنین می‌توانی شرایط وارون‌پذیری (یک‌به‌یک بودن و پوشا بودن) را برای توابع دیگر مرور کنی.