حل مسئله
برای حل این مسئله، ابتدا باید معادلات خطوط داده شده را بررسی کنیم و سپس شرایطی را که این خطوط در نقطه (1,2) همدیگر را قطع می‌کنند و به هم عمود هستند، اعمال کنیم.
معادلات خطوط داده شده:
- bx + (a-b)y = 8
- 3ax + by = c
نقطه (1,2) روی هر دو خط قرار دارد، پس باید در هر دو معادله صدق کند.
با جایگزینی x=1 و y=2 در معادلات:
- b(1) + (a-b)(2) = 8
- 3a(1) + b(2) = c
ساده‌سازی معادلات:
- b + 2a - 2b = 8 => 2a - b = 8
- 3a + 2b = c
حالا شرط عمود بودن دو خط را بررسی می‌کنیم. برای دو خط با معادلات a1x + b1y + c1 = 0 و a2x + b2y + c2 = 0، شرط عمود بودن این است که a1*a2 + b1*b2 = 0 باشد.
برای خطوط داده شده:
- a1 = b, b1 = (a-b)
- a2 = 3a, b2 = b
شرط عمود بودن: b(3a) + (a-b)(b) = 0
ساده‌سازی: 3ab + ab - b^2 = 0 => 4ab - b^2 = 0
b(4a - b) = 0
این معادله دو حالت دارد: یا b=0 یا 4a - b = 0
بررسی حالت‌ها:
- اگر b=0 باشد، از معادله 2a - b = 8، 2a = 8 => a = 4
- اگر 4a - b = 0 باشد، b = 4a و با جایگزینی در 2a - b = 8، 2a - 4a = 8 => -2a = 8 => a = -4 و b = -16
حالا c را برای هر دو حالت محاسبه می‌کنیم:
- برای a=4 و b=0: c = 3(4) + 2(0) = 12
- برای a=-4 و b=-16: c = 3(-4) + 2(-16) = -12 - 32 = -44
پس دو مقدار ممکن برای c وجود دارد: 12 و -44
یادآوری ایمنی: در حل مسائل ریاضی دقت کنید و مراحل را به دقت طی کنید.
