اثبات برهان خلف ضرب گویا در گنگ

دوازدهم ریاضیات گسسته

با برهان خلف ثابت کنید حاصل ضرب هر عدد گویا نا صفر در یک عدد گنگ عددی گنگ است

ایلیا حسام زاده

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: فرض کنید حاصل‌ضرب یک عدد گویای ناصفر و یک عدد گنگ، عددی گویا باشد؛ سپس با استفاده از تعریف اعداد گویا به تناقض برسید.

گام‌به‌گام:

فرض کنید $a$ یک عدد گویای ناصفر و $b$ یک عدد گنگ باشد.
برهان خلف: فرض کنید $a \times b$ عددی گویا باشد. نام آن را $c$ بگذارید: $a \times b = c$ .
از آنجا که $a$ گویا و ناصفر است، می‌توان آن را به صورت $\frac{p}{q}$ نوشت که $p, q$ اعداد صحیح و $q \neq 0$ .
حال $b = \frac{c}{a} = c \times \frac{q}{p}$ . چون $c$ گویا است (طبق فرض)، حاصل‌ضرب دو عدد گویا نیز گویاست. بنابراین $b$ باید گویا باشد.
این با فرض گنگ بودن $b$ تناقض دارد. پس فرض اولیه نادرست است و $a \times b$ باید گنگ باشد.

پاسخ نهایی: با برهان خلف ثابت شد که حاصل‌ضرب هر عدد گویای ناصفر در یک عدد گنگ، عددی گنگ است.

مثال مشابه: عدد گویای ۲ ( $2 = \frac{2}{1}$ ) و عدد گنگ $\sqrt{2}$ . حاصل‌ضرب $2 \sqrt{2}$ گنگ است، زیرا اگر گویا بود، تقسیم بر ۲ (عدد گویای ناصفر) $\sqrt{2}$ را گویا می‌کرد که تناقض است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی به اثبات گنگ بودن $\sqrt{2}$ یا دیگر اعداد گنگ مانند $π$ و $e$ فکر کنی. همچنین بررسی کن که چرا شرط ناصفر بودن عدد گویا ضروری است.