اثبات گنگ بودن a+2b
فرض کنیم $a$ و $b$ دو عدد گنگ هستند و $a+b$ گویا است. می‌خواهیم نشان دهیم $a+2b$ گنگ است.
برهان خلف: فرض کنیم $a+2b$ گویا باشد. در این صورت می‌توانیم بنویسیم:
- $a+b = r$ که $r$ گویا است.
- $a+2b = s$ که $s$ گویا است.
از تفاضل این دو معادله داریم:
ساده کردن عبارت بالا نتیجه می‌دهد:
از آنجا که $s$ و $r$ هر دو گویا هستند، $s-r$ نیز گویا است. پس $b$ گویا است.
حال اگر $b$ گویا باشد و $a+b$ گویا باشد، نتیجه می‌شود که $a$ نیز گویا است زیرا:
که هر دو عبارت در سمت راست گویا هستند.
این نتیجه با فرض اولیه ما که $a$ گنگ است در تناقض است. بنابراین فرض خلف باطل است و $a+2b$ باید گنگ باشد.
یادآوری ایمنی: در انجام محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.
