شرايط پيوستگي و مشتق پذيري تابع در حسابان

پیوستگی و مشتق‌پذیری

برای درک بهتر موضوع، ابتدا باید مفاهیم پیوستگی و مشتق‌پذیری را مرور کنیم.

• پیوستگی: تابع f در نقطه x=a پیوسته است اگر حد تابع در x=a با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشد.
• مشتق‌پذیری: تابع f در نقطه x=a مشتق‌پذیر است اگر حد مشتق در آن نقطه وجود داشته باشد.

اکنون، مثال مناسبی برای نشان دادن اینکه یک تابع می‌تواند در نقطه‌ای پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد، تابع قدر مطلق f(x) = |x| در x=0 است.

• این تابع در x=0 پیوسته است زیرا lim_x→0 |x| = 0 = f(0).
• اما در x=0 مشتق‌پذیر نیست زیرا حد چپ و راست مشتق در این نقطه برابر نیستند.

به عبارت دیگر، مشتق چپ و راست در x=0 به ترتیب -1 و 1 هستند.

یادآوری ایمنی: هنگام کار با مفاهیم ریاضی، دقت کنید که مفاهیم حد و مشتق را به درستی درک کرده باشید.