تابع احتمال مینیمم در پرتاب تاس هرمی

سلام! سوال خوبی پرسیدی. بیا با هم این مسئله احتمال را حل کنیم.

راهنمایی کوتاه: ابتدا فضای نمونه را مشخص می‌کنیم، سپس مقادیر ممکن y را بررسی کرده و احتمال هر کدام را محاسبه می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) فضای نمونه: تاس هرمی ۴ وجهی با اعداد ۱ تا ۴ را دو بار پرتاب می‌کنیم. تعداد کل حالت‌ها: $4\times 4=16$ حالت ممکن.
• ۲) متغیر تصادفی y = مینیمم (کوچکترین) عدد ظاهر شده در دو پرتاب است. مقادیر ممکن y: ۱، ۲، ۳، ۴.
• ۳) محاسبه احتمال y=۴: یعنی مینیمم برابر ۴ باشد. تنها حالتی که این اتفاق می‌افتد وقتی است که هر دو پرتاب عدد ۴ بیاید. فقط یک حالت: (۴,۴). پس: $P(y=4)=\frac{1}{16}$.
• ۴) محاسبه احتمال y=۳: یعنی مینیمم برابر ۳ باشد. یعنی هر دو عدد ≥۳ باشند و حداقل یکی برابر ۳ باشد. حالت‌های ممکن: (۳,۳)، (۳,۴)، (۴,۳). تعداد: ۳ حالت. اما باید حالت‌هایی که مینیمم ۴ دارند (یعنی (۴,۴)) را از این مجموعه حذف کنیم. پس تعداد حالت‌های مینیمم=۳ برابر است با: تعداد کل حالت‌هایی که هر دو عدد ≥۳ هستند منهای حالت‌هایی که مینیمم=۴ هستند. حالت‌های با اعداد ≥۳: (۳,۳)، (۳,۴)، (۴,۳)، (۴,۴) → ۴ حالت. پس: $P(y=3)=\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$.
• ۵) محاسبه احتمال y=۲: با روش مشابه: حالت‌هایی که هر دو عدد ≥۲ باشند: اعداد می‌توانند ۲،۳،۴ باشند. تعداد کل: $3\times 3=9$ حالت. از این ۹ حالت، آن‌هایی که مینیمم ≥۳ دارند (یعنی هر دو عدد ≥۳) را کم می‌کنیم (که ۴ حالت بود). پس: $P(y=2)=\frac{9}{16}-\frac{4}{16}=\frac{5}{16}$.
• ۶) محاسبه احتمال y=۱: یا از تفاضل از ۱، یا با روش مشابه: حالت‌های با اعداد ≥۱: همه ۱۶ حالت. منهای حالت‌هایی که مینیمم ≥۲ هستند (۹ حالت). پس: $P(y=1)=\frac{16}{16}-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.

پاسخ نهایی: تابع احتمال y به صورت زیر است:

• $P(y=1)=\frac{7}{16}$
• $P(y=2)=\frac{5}{16}$
• $P(y=3)=\frac{3}{16}$
• $P(y=4)=\frac{1}{16}$
• و برای سایر مقادیر: $P(y=k)=0$

مثال مشابه: اگر تاس ۶ وجهی معمولی را دو بار پرتاب کنیم و y مینیمم دو عدد باشد، می‌توانی حدس بزنی احتمال y=۱ چقدر می‌شود؟ (پاسخ: $\frac{11}{36}$)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تابع توزیع تجمعی (CDF) y را نیز محاسبه کنی یا امید ریاضی آن را پیدا کنی. همچنین می‌توانی مسئله را برای ماکزیمم اعداد ظاهر شده حل کنی.