سوالات شمارش، فاکتوریل و جایگشت

راهنمایی کوتاه: برای حل سوالات شمارش، اول تشخیص بده که از اصل جمع استفاده می‌کنی یا اصل ضرب، بعد فاکتوریل و جایگشت را به کار ببر.

گام‌به‌گام:

• ۱) اصل جمع: اگر چند گروه جداگانه داشته باشی که همزمان رخ نمی‌دهند، تعداد کل حالت‌ها = جمع تعدادهای هر گروه.
• ۲) اصل ضرب: اگر یک کار در چند مرحله پشت سر هم انجام شود، تعداد کل حالت‌ها = ضرب تعداد انتخاب‌های هر مرحله.
• ۳) فاکتوریل: $n!$ یعنی حاصل‌ضرب اعداد ۱ تا n. مثلاً $4!=24$.
• ۴) جایگشت: تعداد چیدمان r شیء از n شیء متمایز برابر است با $\frac{n!}{(n-r)!}$.
• ۵) اگر ترتیب مهم نباشد، جایگشت کافی نیست و باید از ترکیب استفاده کرد.

پاسخ نهایی: (چند سوال نمونه)

• ۱) از شهر A به B سه جاده و از B به C چهار جاده وجود دارد. چند مسیر از A به C از طریق B می‌رود؟
• ۲) با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد سه رقمی بدون تکرار رقم می‌توان ساخت؟
• ۳) مقدار $6!$ را حساب کن.
• ۴) در یک کلاس ۱۰ نفره، به چند طریق می‌توان یک نفر را به عنوان نماینده و یک نفر را به عنوان معاون انتخاب کرد؟ (ترتیب مهم است)
• ۵) چند جایگشت متمایز از حروف کلمه «کتاب» می‌توان ساخت؟ (حروف تکراری را در نظر بگیر)

مثال مشابه:

می‌خواهیم سوال ۱ را حل کنیم: از A به B سه جاده و از B به C چهار جاده. چون اول باید به B برویم و بعد به C، از اصل ضرب استفاده می‌کنیم: $3\times 4=12$ مسیر.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

تمرین کن که هر سوال را تشخیص دهی: آیا مراحل پشت سر هم هستند (ضرب) یا انتخاب‌های جداگانه (جمع)؟ آیا ترتیب مهم است (جایگشت) یا نه (ترکیب)؟