تعداد جواب‌های sinx = ⅓ در بازه (۰,π)

دوازدهم ریاضی 3 و پایه

تعداد جواب‌های معادله مثلثاتی ⅓=sinx در بازه صفر تا پی چند است؟

کاربر مهمان

432

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن تعداد جواب‌های معادله سینوسی در یک بازه، باید نمودار تابع را در آن بازه بررسی کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) معادله داده شده: $\sin x = \frac{1}{3}$ است.
۲) بازه مورد نظر: $0 xπ(یعنی از ۰ تا پی، بدون خود ۰ و پی).$
۳) مقدار $\frac{1}{3}$ تقریباً برابر ۰.۳۳ است که بین ۰ و ۱ قرار دارد.
۴) در بازه $(0, π)$ ، تابع سینوس از ۰ شروع می‌شود، در $x = \frac{π}{2}$ به حداکثر خود (۱) می‌رسد و سپس دوباره به ۰ برمی‌گردد.
۵) چون مقدار ⅓ مثبت و کوچکتر از ۱ است، نمودار $y = \sin x$ خط $y = \frac{1}{3}$ را در دو نقطه قطع می‌کند: یکی در ربع اول (بین ۰ و π/۲) و دیگری در ربع دوم (بین π/۲ و π).
۶) بنابراین در بازه باز (۰,π) دقیقاً دو جواب وجود دارد.

پاسخ نهایی: تعداد جواب‌های معادله $\sin x = \frac{1}{3}$ در بازه $(0, π)$ برابر با ۲ است.

مثال مشابه: معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ در بازه (۰,π) نیز دو جواب دارد: $\frac{π}{6}$ و $\frac{5}{π} 6$ .

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با رسم نمودار تابع سینوس در بازه‌های مختلف (مثلاً ۰ تا ۲π) و رسم خطوط افقی مانند y=½ یا y=⅓، تعداد تقاطع‌ها را بررسی کنی. همچنین یادت باشد که در بازه بسته [۰,π] اگر خود ۰ و π را هم در نظر بگیری، باید بررسی کنی که آیا در این نقاط معادله برقرار است یا خیر.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هوش مصنوعی تراز

پاسخ هوش مصنوعی تراز

تعداد جواب‌های معادله $\sin x = \frac{1}{3}$ در بازه $[0,\pi]$

برای مقدار ثابت $a$ که \(0

$x_1 = \arcsin a$ (در ربع اول)
$x_2 = \pi - \arcsin a$ (در ربع دوم)

در اینجا $a = \frac{1}{3}$ است، پس

$x_1 = \arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0.3398\ \text{rad}$
$x_2 = \pi - \arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right) \approx 2.8018\ \text{rad}$

هر دو مقدار در بازه $[0,\pi]$ قرار دارند، بنابراین تعداد جواب‌ها ۲ است.

جمع‌بندی

معادله $\sin x = \frac{1}{3}$ در بازه $[0,\pi]$ دو جواب دارد: $x = \arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right)$ و $x = \pi - \arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right)$.

پاسخ‌های ساخته شده توسط هوش مصنوعی ممکن است دارای اشتباهاتی باشند. درستی پاسخ را از منابع معتبر بررسی کنید.

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن تعداد جواب‌های معادله سینوسی در یک بازه، باید نقاط تقاطع نمودار سینوس با خط y=⅓ را در آن بازه بشماریم.

گام‌به‌گام:

۱) معادله داده شده: sinx = ⅓. مقدار ⅓ تقریباً برابر ۰.۳۳ است.
۲) بازه مورد نظر: x ∈ (۰, π). این یعنی x بین ۰ تا π (۱۸۰ درجه) است، اما خود ۰ و π جزو بازه نیستند.
۳) نمودار تابع y = sinx را در بازه (۰, π) در نظر بگیر. این نمودار از ۰ شروع می‌شود، در x=π/۲ به حداکثر ۱ می‌رسد و سپس در x=π به ۰ برمی‌گردد.
۴) خط افقی y = ⅓ را رسم کن. این خط نمودار سینوس را در دو نقطه قطع می‌کند: یکی در ربع اول (بین ۰ و π/۲) و دیگری در ربع دوم (بین π/۲ و π).
۵) در ربع اول، sinx افزایشی است و از ۰ به ۱ می‌رسد. قطعاً یک بار از ⅓ عبور می‌کند.
۶) در ربع دوم، sinx کاهشی است و از ۱ به ۰ می‌رسد. قطعاً یک بار دیگر از ⅓ عبور می‌کند.
۷) بنابراین در کل بازه (۰, π)، دو مقدار x وجود دارد که sinx = ⅓.

پاسخ نهایی: تعداد جواب‌های معادله sinx = ⅓ در بازه (۰, π) برابر با ۲ است.

مثال مشابه: تعداد جواب‌های معادله sinx = ½ در بازه (۰, π) را پیدا کن. (پاسخ: ۱، زیرا sinx=½ فقط در x=π/۶ رخ می‌دهد که در ربع اول است و در ربع دوم sinx کاهشی است و از ½ فقط یک بار عبور می‌کند؟ نه! دقت کن: sin(π-π/۶)=sin(۵π/۶)=½. پس دو جواب دارد: π/۶ و ۵π/۶).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با رسم دقیق‌تر نمودار sinx و خط y=⅓، یا با استفاده از تابع معکوس سینوس (arcsin) و رابطه sin(π-α)=sinα، جواب‌های دقیق را پیدا کنی: x = arcsin(⅓) و x = π - arcsin(⅓).