بررسی برابری توابع y=f(3x) و y=f(5x)
برای بررسی برابری برد توابع y=f(3x) و y=f(5x) با توجه به تابع y=f(x)، ابتدا باید مفهوم برد یک تابع را درک کنیم. برد یک تابع به مجموعه تمام مقادیر خروجی ممکن آن تابع اشاره دارد.
تابع y=f(x) را در نظر بگیرید. اگر x را با 3x و 5x جایگزین کنیم، توابع جدید y=f(3x) و y=f(5x) به دست می‌آیند.
- برای تابع y=f(3x)، ورودی تابع f، 3x است. این بدان معنی است که دامنه این تابع نسبت به تابع اصلی y=f(x) تغییر کرده است، زیرا x باید به گونه‌ای باشد که 3x در دامنه f قرار گیرد.
- به طور مشابه، برای تابع y=f(5x)، ورودی تابع f، 5x است و دامنه آن نیز نسبت به تابع اصلی تغییر کرده است.
حال، آیا برد این توابع تغییر می‌کند؟
برد یک تابع به مقادیر خروجی آن بستگی دارد. اگرچه تغییر در ورودی (x به 3x یا 5x) دامنه را تغییر می‌دهد، اما لزوماً بر روی برد تأثیر نمی‌گذارد، مگر اینکه دامنه جدید باعث شود که تابع نتواند برخی از مقادیر قبلی را پوشش دهد.
در حالت کلی، اگر تابع f(x) روی دامنه‌اش تعریف شده باشد و هیچ محدودیتی برای مقادیر ورودی آن وجود نداشته باشد، آنگاه تغییر در ضریب x (مانند 3x یا 5x) تنها دامنه را تحت تأثیر قرار می‌دهد و نه برد را، به شرط آنکه این تغییرات باعث حذف یا اضافه کردن مقادیری به دامنه نشود که تابع نتواند آن‌ها را پردازش کند.
بنابراین، با فرض اینکه تابع f(x) به طور کلی تعریف شده و هیچ محدودیتی برای مقادیر ورودی آن وجود ندارد، برد توابع y=f(3x) و y=f(5x) با هم برابر است، زیرا هر دو تابع می‌توانند همان مقادیر خروجی تابع y=f(x) را تولید کنند.
یادآوری ایمنی: در مسائل ریاضی، دقت در درک مفاهیم و استفاده درست از آن‌ها بسیار مهم است.
