پاسخ به سوال
ابتدا معادله داده شده را بررسی می‌کنیم: sin(x) + cos(x) = 1/2. برای محاسبه tan(2x)، از فرمول tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) استفاده می‌کنیم.
از اتحادهای مثلثاتی داریم: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) و cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).
با مربع کردن دو طرف معادله sin(x) + cos(x) = 1/2 داریم:
- sin²(x) + 2sin(x)cos(x) + cos²(x) = 1/4
- از آنجا که sin²(x) + cos²(x) = 1، داریم: 1 + 2sin(x)cos(x) = 1/4
- پس 2sin(x)cos(x) = -3/4 => sin(2x) = -3/4
حال برای محاسبه cos(2x):
- (cos(2x) = 1 - 2sin²(x) یا cos(2x) = 2cos²(x) - 1)
- از sin(x) + cos(x) = 1/2 استفاده کرده و cos(x) را بر حسب sin(x) بیان می‌کنیم.
با جایگذاری و ساده‌سازی خواهیم داشت:
- cos(2x) = ±√7/4
از آنجا که x در ناحیه دوم است، 2x در ناحیه سوم یا چهارم قرار دارد. بنابراین cos(2x) منفی است.
پس cos(2x) = -√7/4.
اکنون می‌توانیم tan(2x) را محاسبه کنیم:
- tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) = (-3/4) / (-√7/4) = 3/√7
با ساده‌سازی داریم:
.
یادآوری ایمنی: در محاسبات ریاضی دقت کنید.
