مشتق چیست؟

راهنمایی کوتاه: مشتق به ما می‌گوید یک تابع در هر نقطه با چه سرعتی تغییر می‌کند.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض کنید یک ماشین در حال حرکت است. سرعت آن در هر لحظه، مشتق مسافت نسبت به زمان است.
• ۲) در ریاضی، مشتق شیب خط مماس بر نمودار تابع در یک نقطه است.
• ۳) برای محاسبه مشتق، از حدگیری استفاده می‌کنیم: $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$
• ۴) مشتق کاربردهای زیادی دارد، مثل پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم توابع.
• ۵) برای توابع ساده، قواعدی مانند قاعده توان، ضرب و تقسیم وجود دارد.

پاسخ نهایی: مشتق یک مفهوم ریاضی است که نرخ تغییر لحظه‌ای یک تابع را اندازه‌گیری می‌کند و به صورت شیب خط مماس بر نمودار تعریف می‌شود.

مثال مشابه: اگر تابع مسافت $s\left(t\right)=t^2$ باشد، مشتق آن $s\text{'}\left(t\right)=2t$ است که سرعت لحظه‌ای را نشان می‌دهد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن مشتق توابع ساده مثل $x^3$ یا $\sin \left(x\right)$ را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری تمرین کنی.

راهنمایی کوتاه: مشتق به ما کمک می‌کند تا سرعت تغییر یک چیز را اندازه‌گیری کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض کن یک ماشین در جاده حرکت می‌کند. سرعت آن ماشین در هر لحظه چقدر است؟
• ۲) مشتق دقیقاً همین کار را می‌کند: به ما می‌گوید در هر لحظه، چیز مورد نظر (مثل مسافت) با چه سرعتی تغییر می‌کند.
• ۳) در ریاضی، اگر نموداری داشته باشیم که نشان‌دهنده‌ی رابطه‌ی دو چیز است (مثلاً زمان و مسافت)، مشتق شیب خط مماس بر نمودار در هر نقطه است.
• ۴) شیب خط، یعنی چقدر سریع بالا یا پایین می‌رویم. پس مشتق نشان‌دهنده‌ی سرعت تغییر است.
• ۵) برای محاسبه‌ی مشتق، از فرمول‌های خاصی استفاده می‌کنیم که در درس‌های بالاتر یاد می‌گیری.

پاسخ نهایی: مشتق یک مفهوم ریاضی است که نرخ تغییر یک تابع (مثلاً مسافت نسبت به زمان) را در یک نقطه‌ی خاص نشان می‌دهد. به زبان ساده، مشتق می‌گوید چیزها چقدر سریع تغییر می‌کنند.

مثال مشابه: اگر فاصله‌ی طی‌شده توسط دوچرخه‌سوار را بر حسب زمان رسم کنیم، مشتق در هر لحظه، سرعت لحظه‌ای دوچرخه‌سوار را نشان می‌دهد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن نمودار یک خط مستقیم (مثل y=2x) را رسم کنی. شیب این خط همیشه ۲ است، یعنی مشتق آن در هر نقطه ۲ است—یعنی به ازای هر واحد افزایش در x، مقدار y دو واحد افزایش می‌یابد.