تغییر ابعاد مکعب‌مستطیل و حجم و مساحت

سلام! سوال خیلی خوبی پرسیدی. بیا با هم بررسی کنیم که اگر ابعاد یک مکعب‌مستطیل را در یک عدد ضرب کنیم، حجم و مساحت کل آن چه تغییری می‌کند.

راهنمایی کوتاه:

حجم در توان سوم (n³) و مساحت کل در توان دوم (n²) ضریب تغییر می‌یابند.

گام‌به‌گام:

• ۱) فرض کن ابعاد اولیه مکعب‌مستطیل طول = a، عرض = b و ارتفاع = c باشد.
• ۲) حجم اولیه: $V=a\times b\times c$
• ۳) مساحت کل اولیه: $S=2(ab+ac+bc)$
• ۴) حالا هر بعد را n برابر می‌کنیم: طول جدید = na، عرض جدید = nb، ارتفاع جدید = nc.
• ۵) حجم جدید: $V_{\text{جدید}}=na\times nb\times nc=n^3\left(abc\right)=n^{3}V$
• ۶) مساحت کل جدید: $S_{\text{جدید}}=2\left[\right(na\left)\right(nb)+(na\left)\right(nc)+(nb\left)\right(nc\left)\right]=2n^2(ab+ac+bc)=n^{2}S$

پاسخ نهایی:

اگر ابعاد یک مکعب‌مستطیل را n برابر کنیم:

• حجم آن $n^3$ برابر می‌شود.
• مساحت کل آن $n^2$ برابر می‌شود.

مثال مشابه:

فرض کن یک جعبه مکعب‌مستطیل شکل داریم که ابعاد آن ۲، ۳ و ۴ سانتی‌متر است. اگر هر بعد را ۲ برابر کنیم (یعنی n=2):

• حجم اولیه: ۲×۳×۴ = ۲۴ سانتی‌متر مکعب
• حجم جدید: ۴×۶×۸ = ۱۹۲ سانتی‌متر مکعب → ۱۹۲ ÷ ۲۴ = ۸ = ۲³ برابر شده.
• مساحت کل اولیه: ۲×(۲×۳ + ۲×۴ + ۳×۴) = ۲×(۶+۸+۱۲) = ۵۲ سانتی‌متر مربع
• مساحت کل جدید: ۲×(۴×۶ + ۴×۸ + ۶×۸) = ۲×(۲۴+۳۲+۴۸) = ۲۰۸ سانتی‌متر مربع → ۲۰۸ ÷ ۵۲ = ۴ = ۲² برابر شده.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

می‌توانی این موضوع را روی یک مکعب (که حالت خاص مکعب‌مستطیل است) هم امتحان کنی. مثلاً اگر ضلع یک مکعب را ۳ برابر کنی، حجم ۲۷ برابر و مساحت کل ۹ برابر می‌شود. این رابطه برای همه اجسام سه‌بعدی مشابه (با شکل ثابت) برقرار است.