بخش پذیری عدد چهار رقمی aaaa بر 13
عدد چهار رقمی aaaa را می‌توان به صورت $1000a + 100a + 10a + a = 1111a$ نوشت. برای بررسی بخش پذیری این عدد بر 13، باید ببینیم آیا $1111a$ بر 13 بخش پذیر است یا خیر.
عدد 1111 را بر 13 تقسیم می‌کنیم: $1111 = 13 \times 85 + 6$. پس باقی‌مانده تقسیم 1111 بر 13 برابر 6 است.
حال، برای اینکه $1111a$ بر 13 بخش پذیر باشد، باید $6a$ بر 13 بخش پذیر باشد. ساده‌ترین راه برای این کار این است که $a$ را طوری انتخاب کنیم که $6a$ برابر 13 یا مضربی از 13 شود.
از آنجا که $a$ یک رقم است، تنها راه برای بخش پذیر بودن $6a$ بر 13 این است که $a$ برابر با عددی باشد که $6a$ را برابر 78 کند (زیرا $78 = 13 \times 6$). پس $a = 78 / 6 = 13$ که امکان ندارد چون $a$ باید یک رقم باشد.
با بررسی اعداد مختلف، می‌بینیم که اگر $a = 13/6 \times k$ که $k$ عددی است که $a$ را یک رقم می‌کند، چنین چیزی ممکن نیست. اما اگر باقی‌مانده را در نظر بگیریم، می‌بینیم که برای $a=13$، عدد ما بر 13 بخش‌پذیر است ولی $a$ باید یک رقم باشد.
با محاسبه دقیق‌تر، می‌توان دید که برای $a=6$، $6 \times 6 = 36$ و باقی‌مانده تقسیم 36 بر 13 برابر 10 است. اما اگر $a=13$ را در نظر بگیریم که یک رقم نیست. پس جواب دقیقی برای $a$ به عنوان یک رقم وجود ندارد که عدد $aaaa$ بر 13 بخش پذیر باشد.
نتیجه: عدد چهار رقمی $aaaa$ به ازای هیچ مقدار $a$ بین 1 تا 9 بر 13 بخش پذیر نیست.
