بررسی زوج بودن حاصل جمع دو عدد اول
عدد اول به عددی گفته می‌شود که فقط دو شمارنده داشته باشد: ۱ و خودش. به عنوان مثال ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳ و ۱۷ اعداد اول هستند.
حال به بررسی این موضوع می‌پردازیم که آیا حاصل جمع هر دو عدد اول، عددی زوج است؟
- ۲ + ۳ = ۵: عدد ۵ فرد است.
- ۳ + ۵ = ۸: عدد ۸ زوج است.
- ۲ + ۵ = ۷: عدد ۷ فرد است.
همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در برخی موارد حاصل جمع دو عدد اول، فرد و در برخی دیگر زوج است. پس نمی‌توان گفت که حاصل جمع هر دو عدد اول همیشه زوج است.
دلیل این موضوع را می‌توان با بررسی اعداد اول و خاصیت زوج یا فرد بودن آن‌ها فهمید. عدد ۲ تنها عدد اول زوج است و بقیه اعداد اول فرد هستند. حال اگر دو عدد اول فرد را با هم جمع کنیم، حاصل همیشه زوج خواهد بود؛ زیرا:
و به ترتیب نمایش دو عدد اول فرد هستند که در آن‌ها m و n اعداد صحیح هستند. حاصل جمع این دو عدد برابر است با:که عددی زوج است؛ زیرا مضربی از ۲ است. اما اگر یکی از اعداد، ۲ باشد، داریم:
که عددی فرد است.
