طول OR در شکل مماس با AG=OG=4

هشتم ریاضی هشتم

در شکل زیر، RG در نقطۀ G بر دایره به مرکز O مماس است. اگر AG=OG=4

، طول OR چند است ؟

امیر عباس نصرالهی

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: از خاصیت مماس و قطر استفاده کن و مثلث متساوی‌الاضلاع را پیدا کن.

گام‌به‌گام:

۱) شکل را در نظر بگیر. $O$ مرکز دایره است و $R G$ در نقطهٔ $G$ بر دایره مماس است. پس شعاع $O G$ بر $R G$ عمود است.

۲) داده شده است $A G = O G = 4$ . همچنین $O A$ هم شعاع است و برابر $4$ . پس $O A = O G = A G = 4$ ، یعنی مثلث $O A G$ متساوی‌الاضلاع است.

۳) در مثلث متساوی‌الاضلاع همه زاویه‌ها $60 °$ هستند. پس $∠ A O G = 60 °$ .

۴) از شکل نتیجه می‌شود که نقاط $O$ ، $A$ و $R$ روی یک خط راست قرار دارند. بنابراین $∠ G O R = ∠ A O G = 60 °$ .

۵) در مثلث قائم‌الزاویهٔ $O G R$ که زاویهٔ $G$ قائمه است، داریم:
$\cos 60 ° = \frac{O G}{O R}$ .
با جای‌گذاری $O G = 4$ و $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$ داریم:
$\frac{1}{2} = \frac{4}{O R}$ → $O R = 8$ .

پاسخ نهایی: طول $O R$ برابر ۸ است.

مثال مشابه: فرض کن در دایره‌ای به شعاع ۵، یک مماس از نقطه‌ای بیرون رسم شده باشد. اگر فاصلهٔ نقطهٔ مماس تا مرکز ۱۰ باشد، طول مماس چقدر می‌شود؟ (با قضیهٔ فیثاغورس حساب می‌شود.)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: دربارهٔ ارتباط مماس و شعاع، مثلثات پایه و مثلث‌های متساوی‌الاضلاع مطالعه کن.