محاسبه طول وتر با فاصله از مرکز

راهنمایی کوتاه: با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه تشکیل شده توسط شعاع، نصف وتر و فاصله مرکز تا وتر، طول وتر را محاسبه می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) شکل مسئله را تصور کنید: یک دایره با مرکز O، یک وتر AB، و فاصله عمودی از مرکز تا وتر (OH) که ۵ سانتی‌متر است. شعاع دایره (OA یا OB) برابر ۱۳ سانتی‌متر است.
• ۲) مثلث OHA را در نظر بگیرید: این مثلث قائم‌الزاویه است (چون فاصله از مرکز به وتر عمود است). در این مثلث:
  - وتر OA (شعاع) = ۱۳ سانتی‌متر (وتر مثلث قائم‌الزاویه)
  - ضلع OH (فاصله مرکز تا وتر) = ۵ سانتی‌متر (یکی از اضلاع قائمه)
  - ضلع AH (نصف طول وتر AB) = مجهول (ضلع قائمه دیگر)
• ۳) با قضیه فیثاغورس: در مثلث قائم‌الزاویه، مجذور وتر برابر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر است.
  ${\mathrm{OA}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$
  یعنی: ${13}^2=5^2+{\mathrm{AH}}^2$
• ۴) محاسبه اعداد:
  $169=25+{\mathrm{AH}}^2$
  پس: ${\mathrm{AH}}^2=169-25=144$
  بنابراین: $\mathrm{AH}=\sqrt{144}=12$ سانتی‌متر
• ۵) طول کامل وتر AB: چون AH نصف وتر است، پس:
  $\mathrm{AB}=2\times \mathrm{AH}=2\times 12=24$ سانتی‌متر

پاسخ نهایی: طول وتر برابر ۲۴ سانتی‌متر است.

مثال مشابه: اگر شعاع دایره‌ای ۱۰ سانتی‌متر و فاصله مرکز تا وتر آن ۶ سانتی‌متر باشد، طول وتر چقدر است؟
حل: ${\mathrm{AH}}^2={10}^2-6^2=100-36=64$ → $\mathrm{AH}=8$ → $\mathrm{AB}=16$ سانتی‌متر.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی رابطه بین شعاع، فاصله مرکز تا وتر و طول وتر را به صورت فرمول $L=2\sqrt{r^2-d^2}$ بنویسی که در آن L طول وتر، r شعاع و d فاصله مرکز تا وتر است. این فرمول مستقیم از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید.