نمونه سؤال کسر مسلسلی پایه هشتم

راهنمایی کوتاه: کسر مسلسلی کسری است که در مخرجش کسر دیگری (و در مخرج آن هم کسر بعدی) قرار دارد؛ هم می‌توان آن را حساب کرد و هم یک کسر معمولی را به آن تبدیل کرد.

گام‌به‌گام:

• ۱) از پایین‌ترین و تودرتوترین کسر شروع کن و آن را ساده کن.
• ۲) حاصل را در مخرج کسر بالاتر بگذار و همان کسر را حساب کن.
• ۳) این کار را تا بالاترین کسر ادامه بده؛ همیشه از پایین به بالا.
• ۴) برای تبدیل کسر ساده به کسر مسلسلی، صورت را بر مخرج تقسیم کن، بعد مخرج را بر باقی‌مانده و همین‌طور ادامه بده.
• ۵) خارج‌قسمت‌های این تقسیم‌ها همان عددهایی هستند که در کسر مسلسلی می‌نویسی.
• ۶) در پایان از آخر به اول حساب کن تا جوابت را امتحان کنی.

پاسخ نهایی:

نمونه ۱) مقدار کسر مسلسلی زیر را حساب کن:

$2+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{2}}}$

حل: ابتدا $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ ، سپس $1+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$ ، و در آخر $2+\frac{7}{9}=\frac{25}{9}$ . پس جواب $\frac{25}{9}$ است.

نمونه ۲) کسر $\frac{43}{30}$ را به کسر مسلسلی تبدیل کن.

حل: تقسیم‌های پی‌درپی را انجام می‌دهیم: $43=1\times 30+13$ ، $30=2\times 13+4$ ، $13=3\times 4+1$ ، $4=4\times 1+0$ . خارج‌قسمت‌ها ۱، ۲، ۳ و ۴ هستند، پس:

$\frac{43}{30}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}$

نمونه ۳) حاصل کسر مسلسلی ساده زیر را پیدا کن: $1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$

حل: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ و $1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$ . جواب $\frac{5}{3}$ است.

مثال مشابه: کسر $\frac{17}{11}$ را به کسر مسلسلی تبدیل کن.

جواب برای بررسی خودت (اول خودت حل کن، بعد ببین): $\frac{17}{11}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}$ . چون $17=1\times 11+6$ ، $11=1\times 6+5$ ، $6=1\times 5+1$ و $5=5\times 1+0$ .

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: کسر مسلسلی فقط برای حساب‌وکتاب نیست؛ برای تقریب زدن هم به کار می‌آید. مثلاً برای $\sqrt{2}$ یک کسر مسلسلی بی‌پایان داریم: $1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}$ و اگر آن را وسط راه قطع کنی، تقریب‌های خوبی مثل $\frac{3}{2}$ ، $\frac{7}{5}$ و $\frac{17}{12}$ به دست می‌آید.

یک پرسش کوتاه هم برای تمرین: کدام گزینه برای $1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$ درست است؟

• الف) $\frac{3}{2}$
• ب) $\frac{5}{3}$ (پاسخ درست)
• ج) $\frac{5}{2}$
• د) $\frac{4}{3}$