محاسبه عبارات با استفاده از معادله درجه دوم

نهم ریاضی نهم

اگر ایکس به توان دو منها سه ایکس به علاوه یک مساوی صفر باشد حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید

الف) ایکس به توان دو به علاوه یک تقسیم بر ایکس به توان دو

ب) ایکس به توان دو منها یک تقسیم بر ایکس به توان دو

امیر گلستانی

جواب این سوال رو می‌دونی؟

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال خوبی پرسیدی. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: از معادله داده شده استفاده می‌کنیم تا مقدار x² را بر حسب x پیدا کنیم، سپس آن را در عبارات جایگذاری می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) معادله داده شده: $x^{2} - 3 x + 1 = 0$
۲) از این معادله می‌توانیم بنویسیم: $x^{2} = 3 x - 1$
۳) حالا قسمت الف را حل می‌کنیم: $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$
۴) مقدار x² را از مرحله ۲ جایگذاری می‌کنیم: $(3 x - 1) + \frac{1}{3 x - 1}$
۵) برای ساده‌سازی، از معادله اصلی کمک می‌گیریم. اگر معادله را بر x تقسیم کنیم (با توجه به اینکه x≠0): $x - 3 + \frac{1}{x} = 0$
۶) پس $x + \frac{1}{x} = 3$
۷) حالا $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2$
۸) مقدار مرحله ۶ را جایگذاری می‌کنیم: $3^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$
۹) برای قسمت ب: $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$
۱۰) این عبارت برابر است با: $(x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$
۱۱) مقدار $x + \frac{1}{x}$ را از مرحله ۶ داریم. برای $x - \frac{1}{x}$ ، از معادله $x - 3 + \frac{1}{x} = 0$ می‌توان نوشت: $x - \frac{1}{x} = 3 - 2 (\frac{1}{x})$
۱۲) راه ساده‌تر: از رابطه $(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4$ استفاده می‌کنیم
۱۳) پس $(x - \frac{1}{x})^{2} = 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$
۱۴) بنابراین $x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$
۱۵) حالا عبارت قسمت ب: $(x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 3 \times (\pm \sqrt{5}) = \pm 3 \sqrt{5}$