حل معادله قدر مطلق

راهنمایی کوتاه: برای حل معادله‌های قدر مطلق، باید دو حالت را بررسی کنی.

گام‌به‌گام:

1. معادله داده شده است: |۳x - ۱۲| = ۱۲ - ۳x
2. تعریف قدر مطلق: |a| = a اگر a ≥ ۰ و |a| = -a اگر a < ۰
3. حالت اول: وقتی عبارت داخل قدر مطلق نامنفی است (۳x - ۱۲ ≥ ۰).
   در این حالت |۳x - ۱۲| = ۳x - ۱۲
   پس معادله می‌شود: ۳x - ۱۲ = ۱۲ - ۳x
   حل می‌کنیم: ۳x + ۳x = ۱۲ + ۱۲ → ۶x = ۲۴ → x = ۴
   حالا باید شرط حالت اول را بررسی کنیم: ۳(۴) - ۱۲ = ۱۲ - ۱۲ = ۰ ≥ ۰ ✓ پس x = ۴ قابل قبول است.
4. حالت دوم: وقتی عبارت داخل قدر مطلق منفی است (۳x - ۱۲ < ۰).
   در این حالت |۳x - ۱۲| = -(۳x - ۱۲) = -۳x + ۱۲
   پس معادله می‌شود: -۳x + ۱۲ = ۱۲ - ۳x
   می‌بینیم دو طرف معادله دقیقاً برابر هستند! این یعنی معادله برای همه x‌هایی که شرط حالت دوم را دارند برقرار است.
5. شرط حالت دوم: ۳x - ۱۲ < ۰ → ۳x < ۱۲ → x < ۴
   پس در حالت دوم، همه x‌های کوچکتر از ۴ جواب هستند.
6. جواب نهایی اجتماع جواب‌های دو حالت است: x = ۴ و همه x < ۴

پاسخ نهایی: مجموعه جواب معادله همه اعداد حقیقی x ≤ ۴ است. یعنی x می‌تواند ۴ یا هر عددی کوچکتر از ۴ باشد.

مثال مشابه: معادله |۲x - ۶| = ۶ - ۲x را حل کن. (پاسخ: x ≤ ۳)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن معادله |x + ۵| = x + ۵ را حل کنی. چه رابطه‌ای بین عبارت داخل قدر مطلق و سمت راست معادله می‌بینی؟