تجزیه عبارات جبری و محاسبات سریع

راهنمایی کوتاه: از فرمول‌های اتحاد و تجزیه استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) $16x^2-36y^2$ را به صورت $\left(4x\right){}^2-\left(6y\right){}^2$ بنویس. این اتحاد مزدوج است: $(4x-6y)(4x+6y)$.
• ۲) $997\times 1003$ را به صورت $(1000-3)(1000+3)$ بنویس. این هم اتحاد مزدوج است: ${1000}^2-3^2=1000000-9=999991$.
• ۳) $420\times 380$ را به صورت $(400+20)(400-20)$ بنویس. باز هم اتحاد مزدوج: ${400}^2-{20}^2=160000-400=159600$.
• ۴) $\frac{1}{25a^2}-\frac{1}{9b^2}$ را به صورت $\left(\frac{1}{5a}\right){}^2-\left(\frac{1}{3b}\right){}^2$ بنویس. اتحاد مزدوج: $(\frac{1}{5a}-\frac{1}{3b})(\frac{1}{5a}+\frac{1}{3b})$.
• ۵) $-5y^2+9x^2$ را مرتب کن: $9x^2-5y^2$. این اتحاد مزدوج نیست چون ۵ مربع کامل نیست. پس تجزیه نمی‌شود (در اعداد حقیقی).
• ۶) $-3a^2{b}^4+49x^2$ را مرتب کن: $49x^2-3a^2{b}^4$. باز هم ۳ مربع کامل نیست، پس تجزیه نمی‌شود (در اعداد حقیقی).

پاسخ نهایی:

• ۱) $(4x-6y)(4x+6y)$
• ۲) ۹۹۹۹۹۱
• ۳) ۱۵۹۶۰۰
• ۴) $(\frac{1}{5a}-\frac{1}{3b})(\frac{1}{5a}+\frac{1}{3b})$
• ۵) تجزیه نمی‌شود (در اعداد حقیقی)
• ۶) تجزیه نمی‌شود (در اعداد حقیقی)

مثال مشابه: تجزیه کن: $25m^2-64n^2$. پاسخ: $(5m-8n)(5m+8n)$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: تمرین کن که هر عبارت را اول به صورت تفاضل دو مربع کامل بنویسی. اگر نتوانستی، شاید تجزیه‌پذیر نباشد.

راهنمایی کوتاه: در این تمرین از فرمول‌های اتحاد و تجزیه استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) برای عبارت اول: $16x^2-36y^2$ را به صورت تفاضل دو مربع می‌بینیم: $(4x{)}^2-(6y{)}^2$ سپس از اتحاد $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ استفاده می‌کنیم.
• ۲) برای $997\times 1003$ از اتحاد $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ استفاده می‌کنیم که در آن $a=1000$ و $b=3$ است.
• ۳) برای $420\times 380$ نیز از همان اتحاد استفاده می‌کنیم با $a=400$ و $b=20$.
• ۴) برای عبارت $\frac{1}{25a^2}-\frac{1}{9b^2}$ آن را به صورت تفاضل دو کسر مربعی می‌نویسیم و از اتحاد تفاضل مربع‌ها استفاده می‌کنیم.
• ۵) برای $-5y^2+9x^2$ ترتیب را تغییر می‌دهیم تا به فرم تفاضل مربع برسیم.
• ۶) برای $-3a^2{b}^4+49x^2$ ابتدا علامت منفی را فاکتور می‌گیریم و سپس از اتحاد استفاده می‌کنیم.

پاسخ نهایی:

• ۱) $(4x-6y)(4x+6y)$
• ۲) $10002^2-32^2=1000000-9=999991$
• ۳) $4002^2-202^2=160000-400=159600$
• ۴) $(\frac{1}{5a}-\frac{1}{3b})(\frac{1}{5a}+\frac{1}{3b})$
• ۵) $(3x-\sqrt{5}y)(3x+\sqrt{5}y)$ (توجه: چون ضریب ۵ مربع کامل نیست، رادیکال باقی می‌ماند)
• ۶) $-(\sqrt{3}a{b}^2-7x)(\sqrt{3}a{b}^2+7x)$

مثال مشابه: عبارت $25m^2-64n^2$ را تجزیه کنید. پاسخ: $(5m-8n)(5m+8n)$

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن اتحادهای دیگر مثل مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای را هم تمرین کنی. همچنین می‌توانی مسائل مشابه با ضرایب کسری یا اعشاری را حل کنی تا تسلطت بیشتر شود.