اثبات مثلث متساوی‌الساقین با نیم‌ساز

راهنمایی کوتاه: برای اثبات متساوی‌الساقین بودن مثلث با استفاده از نیم‌ساز، از تساوی زوایا و تساوی اضلاع استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

1. فرض می‌کنیم در مثلث ABC، پاره‌خط AD نیم‌ساز زاویه A است.
2. می‌دانیم که نیم‌ساز، زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. پس: $\angle BAD=\angle CAD$
3. اگر فرض کنیم AD عمود بر BC است، آنگاه دو مثلث ABD و ACD قائم‌الزاویه خواهند بود.
4. در این دو مثلث قائم‌الزاویه، وتر مشترک AD و یک زاویه تند مساوی (∠BAD = ∠CAD) داریم.
5. با توجه به حالت زاویه-وتر-زاویه (AAS) برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، دو مثلث ABD و ACD همنهشت هستند.
6. از همنهشتی این دو مثلث نتیجه می‌گیریم: AB = AC
7. پس مثلث ABC متساوی‌الساقین است (با ساق‌های AB و AC).

پاسخ نهایی: اگر در مثلثی، نیم‌ساز یک زاویه بر ضلع مقابل عمود باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است و ضلع‌های مجاور آن زاویه با هم برابرند.

مثال مشابه: در مثلث XYZ، اگر XŶ نیم‌ساز زاویه X باشد و بر YZ عمود باشد، آنگاه XY = XZ و مثلث متساوی‌الساقین است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی حالت‌های دیگر اثبات مثلث متساوی‌الساقین را بررسی کنی، مثلاً با استفاده از ارتفاع یا میانه. همچنین می‌توانی عکس این قضیه را ثابت کنی: در مثلث متساوی‌الساقین، نیم‌ساز زاویه رأس بر قاعده عمود است و آن را نصف می‌کند.