ساده‌سازی عبارت رادیکالی

راهنمایی کوتاه: برای ساده‌سازی این عبارت، باید از داخل به بیرون کار کنیم و رادیکال‌های تودرتو را مرحله‌به‌مرحله ساده کنیم.

گام‌به‌گام:

1. ابتدا عبارت داخل رادیکال اصلی را بررسی می‌کنیم: $\sqrt{2-\sqrt{27-\sqrt{48}}}$
2. از عمیق‌ترین رادیکال شروع می‌کنیم: $\sqrt{48}$. می‌دانیم $48=16\times 3$، پس $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$.
3. حالا عبارت $27-\sqrt{48}$ را محاسبه می‌کنیم: $27-4\sqrt{3}$.
4. حالا باید $\sqrt{27-4\sqrt{3}}$ را ساده کنیم. این یک رادیکال دوتایی است. فرض می‌کنیم $\sqrt{27-4\sqrt{3}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ که a و b اعداد مثبتی هستند و a>b.
5. دو طرف را مربع می‌کنیم: $27-4\sqrt{3}=a+b-2\sqrt{ab}$. پس باید داشته باشیم: $a+b=27$ و $2\sqrt{ab}=4\sqrt{3}$ که می‌شود $\sqrt{ab}=2\sqrt{3}$ یا $ab=12$.
6. حالا باید دو عدد پیدا کنیم که جمعشان 27 و حاصلضربشان 12 باشد. این اعداد 24 و 3 هستند (چون 24+3=27 و 24×3=72 نیست! اشتباه است). بیایید دوباره فکر کنیم: a+b=27 و ab=12. دو عددی که جمعشان 27 و ضربشان 12 باشد وجود ندارد. پس باید روش دیگری را امتحان کنیم.
7. بیایید به شکل دیگری بنویسیم: $\sqrt{27-4\sqrt{3}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$. مربع دو طرف: $27-4\sqrt{3}=x+y-2\sqrt{xy}$. پس: $x+y=27$ و $2\sqrt{xy}=4\sqrt{3}$ → $\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$ → $xy=12$.
8. معادله درجه دوم: $t^2-27t+12=0$. ممیز: $\Delta =729-48=681$ که مربع کامل نیست. پس این روش جواب نمی‌دهد.
9. بیایید راه ساده‌تری را امتحان کنیم: $27-4\sqrt{3}$ را می‌توان به شکل ${\left(\sqrt{m},-,\sqrt{n}\right)}^2$ نوشت. یعنی $m+n-2\sqrt{mn}=27-4\sqrt{3}$. پس $m+n=27$ و $2\sqrt{mn}=4\sqrt{3}$ → $\sqrt{mn}=2\sqrt{3}$ → $mn=12$. همان معادله قبلی. پس این عبارت به شکل ساده‌تر از رادیکال دوتایی درنمی‌آید.
10. پس $\sqrt{27-4\sqrt{3}}$ را نمی‌توان بیشتر ساده کرد. بنابراین عبارت اصلی می‌شود: $\sqrt{2-\sqrt{27-4\sqrt{3}}}$.
11. حالا باید بررسی کنیم آیا $2-\sqrt{27-4\sqrt{3}}$ مثبت است؟ مقدار $\sqrt{27-4\sqrt{3}}$ تقریباً $\sqrt{27-6.928}=\sqrt{20.072}\approx 4.48$، پس $2-4.48=-2.48$ که منفی است! پس عبارت اصلی در اعداد حقیقی تعریف نشده است.

پاسخ نهایی: این عبارت در اعداد حقیقی تعریف نشده است، زیرا عبارت داخل رادیکال اصلی منفی می‌شود.

مثال مشابه: عبارت $\sqrt{5-\sqrt{24}}$ را در نظر بگیر. ابتدا $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$، سپس $5-2\sqrt{6}$ را می‌توان به شکل ${\left(\sqrt{3},-,\sqrt{2}\right)}^2$ نوشت، پس جواب $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: تمرین کن عبارات رادیکالی تودرتو را با پیدا کردن اعدادی که جمع و ضرب مشخصی دارند ساده کنی. یادت باشد همیشه اول بررسی کن عبارت داخل رادیکال اصلی مثبت باشد.