تعیین علامت اعداد حقیقی a، b، c

راهنمایی کوتاه: برای حل این مسئله، باید از قوانین علامت‌گذاری در ضرب و تقسیم اعداد حقیقی استفاده کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) از شرط (الف) شروع می‌کنیم: $\frac{b}{ac}<0$. این یعنی حاصل تقسیم b بر ac منفی است. برای منفی بودن یک کسر، صورت و مخرج باید علامت‌های مخالف داشته باشند. پس یا b مثبت و ac منفی است، یا b منفی و ac مثبت است.
• ۲) شرط (ب) را بررسی می‌کنیم: $abc<0$. این یعنی حاصل ضرب abc منفی است. حاصل ضرب سه عدد منفی است وقتی تعداد عوامل منفی در آن فرد باشد (یک یا سه تا).
• ۳) شرط (ج) را در نظر می‌گیریم: $\frac{b^2}{ac}>0$. توجه کن که $b^2$ همیشه مثبت است (مگر b=0 که در اینجا امکان ندارد چون در مخرج قرار می‌گیرد و تقسیم بر صفر تعریف نشده است). پس برای مثبت بودن کل کسر، مخرج (یعنی ac) نیز باید مثبت باشد. بنابراین از شرط (ج) نتیجه می‌گیریم: $ac>0$.
• ۴) حالا اطلاعات را ترکیب می‌کنیم. از گام ۳ می‌دانیم ac مثبت است. این اطلاعات را در شرط (الف) جایگزین می‌کنیم. اگر ac مثبت باشد، برای اینکه $\frac{b}{ac}$ منفی شود، باید b منفی باشد (چون تقسیم یک عدد منفی بر یک عدد مثبت، نتیجه منفی می‌دهد).
• ۵) تا اینجا داریم: ac مثبت و b منفی. ac مثبت یعنی a و c هم‌علامت هستند (هر دو مثبت یا هر دو منفی). حالا شرط (ب) را چک می‌کنیم: abc منفی است. می‌دانیم b منفی است. پس حاصل ضرب a و c و b منفی است. از آنجایی که b منفی است، برای منفی شدن abc، حاصل ضرب a و c باید مثبت باشد (چون منفی × مثبت = منفی). خوشبختانه از قبل می‌دانستیم ac مثبت است، پس این شرط هم برقرار می‌شود.
• ۶) جمع‌بندی علامت‌ها: b قطعاً منفی است. a و c هم‌علامت هستند (هر دو مثبت یا هر دو منفی). در هر دو حالت، هر سه شرط برقرار می‌ماند. بیا یک حالت را آزمایش کنیم: اگر a و c هر دو مثبت باشند، ac مثبت، b منفی. شرط الف: (منفی)/(مثبت) = منفی ✓. شرط ب: (مثبت)×(منفی)×(مثبت) = منفی ✓. شرط ج: (مثبت)/(مثبت) = مثبت ✓. اگر a و c هر دو منفی باشند نیز همه شرط‌ها برقرارند.

پاسخ نهایی:

عدد b باید منفی باشد. اعداد a و c باید هم‌علامت باشند، یعنی یا هر دو مثبت یا هر دو منفی. در این حالت هر سه نابرابری داده شده برقرار خواهند بود.

مثال مشابه:

فرض کن a=2، c=3 (هر دو مثبت) و b=-1. بیا بررسی کنیم:
الف) $\frac{-1}{2\times 3}=\frac{-1}{6}<0$ ✓
ب) $2\times (-1)\times 3=-6<0$ ✓
ج) $\frac{{(-1)}^2}{2\times 3}=\frac{1}{6}>0$ ✓

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

سعی کن حالت‌های مختلفی برای a و c انتخاب کنی (مثلاً هر دو منفی) و دوباره بررسی کنی که همه شرط‌ها برقرار هستند. همچنین می‌توانی سؤال مشابهی طرح کنی، مثلاً: «اگر $\frac{a}{b}>0$ و $abc<0$ باشد، علامت c چه می‌شود؟»