یک زیرمجموعه $n$ عضوی از یک مجموعه با $m$ عضو، به این معنی است که ما از بین $m$ عضو، $n$ تا را انتخاب کردهایم. تعداد زیرمجموعههای $n$ عضوی برابر است با $inom{m}{n}$.
در این سوال، گفته شده که $inom{m}{n} = 16^{3n-11}$.
- گام اول: ساده کردن $16^{3n-11}$ به صورت $(2^4)^{3n-11} = 2^{4(3n-11)} = 2^{12n-44}$.
- گام دوم: پیدا کردن $m$ و $n$ به طوری که $inom{m}{n} = 2^{12n-44}$.
- گام سوم: بررسی حالات مختلف برای $m$ و $n$.
راهنمایی کوتاه: برای حل این مسئله باید ترکیبیات و خواص توانها را بدانیم.
گامبهگام:
۱) فرض کنیم $m=12$ و $n=4$ باشد. در این صورت $inom{12}{4} = 495$ که برابر $2^{12*4-44} = 2^4 = 16$ نیست.
۲) حالا فرض کنیم $n=3$ باشد. در این صورت $2^{12*3-44} = 2^{-8}$ که غیرممکن است چون $inom{m}{n}$ نمیتواند کسری باشد.
۳) اگر $n=2$ باشد، $2^{12*2-44} = 2^{-20}$ که باز هم غیرممکن است.
۴) بررسی برای $n=5$ و $m=12$: $inom{12}{5} = 792$ و $2^{12*5-44} = 2^{16} = 65536$ که برابر نیستند.
۵) بررسی برای $n=6$ و $m=12$: $inom{12}{6} = 924$ و $2^{12*6-44} = 2^{28}$ که بسیار بزرگتر است.
۶) بررسی برای $n=11$ و $m=12$: $inom{12}{11} = 12$ و $2^{12*11-44} = 2^{88}$ که برابر نیستند.
پاسخ نهایی: با بررسیهای انجام شده و با توجه به اینکه $inom{m}{1} = m$ و $16^{3*1-11} = 16^{-8}$، اگر $n=1$ باشد، داریم $m = 2^{-8}$ که غیرممکن است. اما اگر $n=0$ باشد، $inom{m}{0}=1$ و $2^{12*0-44} = 2^{-44}$ که برابر نیستند. پس جواب در حالتهای بررسی شده نیست.
مثال مشابه: پیدا کردن تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: ترکیبیات و خواص توانها را بیشتر مطالعه کن.
