زيرمجموعه هاي دو عضوي در مجموعه هاي بيشتر از دو عضو

در هر مجموعه اي که تعداد عضو هاي آن بيشتر از دو باشد تعداد زير مجموعه هايي که اشتراک آنها برابر با تهي و اجتماع آنها برابر با خود مجموعه باشد ميشه تعداد زير مجموعه هاي دو عضويش؟

محمدرضا

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

پاسخ به سوال

بله، در هر مجموعه با بیش از دو عضو، تعداد زیرمجموعه‌هایی که اشتراک آنها تهی و اجتماع آنها برابر با خود مجموعه باشد، برابر با تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی آن مجموعه است.

برای درک این موضوع، فرض کنید مجموعه‌ای با n عضو داریم. تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی این مجموعه برابر است با $(n \ 2) = \frac{n!}{2! (n - 2)!} = \frac{n (n - 1)}{2}$ .

حال اگر دو زیرمجموعه از این مجموعه را در نظر بگیریم که اشتراک آنها تهی و اجتماع آنها برابر با خود مجموعه باشد، این دو زیرمجموعه در واقع مکمل یکدیگرند. برای هر عضو در مجموعه، دو حالت وجود دارد: یا در زیرمجموعه اول باشد یا در زیرمجموعه دوم. بنابراین برای n عضو، $2^{n}$ حالت داریم، اما دو حالت که همه اعضا در یک زیرمجموعه باشند حذف می‌شوند. پس $2^{n} - 2$ حالت برای تقسیم اعضا بین دو زیرمجموعه وجود دارد. اما چون ترتیب زیرمجموعه‌ها مهم نیست، این مقدار را باید بر ۲ تقسیم کرد.

با این حال، سوال تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی را می‌پرسد. در یک مجموعه n عضوی، هر زیرمجموعه دو عضوی را می‌توان به عنوان بخشی از یک جفت زیرمجموعه مکمل در نظر گرفت. بنابراین تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی برابر است با $\frac{n (n - 1)}{2}$ .