نمونه سؤال فصل ۱ درس ۲ ریاضی نهم

راهنمایی کوتاه: در درس دوم فصل ۱ ریاضی نهم با مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه کار می‌کنیم؛ کلید همه سؤال‌ها، مقایسه دقیق اعضاست.

گام‌به‌گام:

• ۱) اعضای هر مجموعه را دقیق و بدون جا انداختن فهرست کن.
• ۲) به یاد داشته باش ترتیب نوشتن و تکرار اعضا مهم نیست؛ فقط خود اعضا مهم‌اند.
• ۳) اگر هر عضو A در B باشد و هر عضو B در A باشد، آن دو مجموعه برابرند.
• ۴) اگر همه اعضای A در B باشند، A زیرمجموعه B است؛ اگر B عضوی داشته باشد که در A نیست، A زیرمجموعه سره است.
• ۵) تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با n عضو برابر است با $2^n$ و مجموعه تهی هم زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است.
• ۶) برای رد کردن یک ادعا، یک مثال کوچک نقض پیدا کن.

پاسخ نهایی:

۱) مجموعه‌های $A=\{1,2,3\}$ و $B=\{3,1,2\}$ را مقایسه کن؛ آیا برابرند؟ — بله، برابرند، چون اعضای کاملاً یکسانی دارند و فقط ترتیب نوشتنشان عوض شده است.

۲) اگر $C=\{1,2,3,4,5\}$ باشد، آیا مجموعه دو عضوی ۲ و ۴ زیرمجموعه C است؟ آیا سره است؟ — بله زیرمجموعه است، و چون با C برابر نیست، زیرمجموعه سره به حساب می‌آید.

۳) مجموعه $D=\{7,8,9\}$ چند زیرمجموعه دارد؟ همه را بنویس. — چون سه عضو دارد، تعداد زیرمجموعه‌ها $2^3=8$ است: مجموعه تهی، {۷}، {۸}، {۹}، {۷،۸}، {۷،۹}، {۸،۹} و {۷،۸،۹}.

۴) اگر A مجموعه اعداد طبیعی فرد کوچک‌تر از ۱۰ باشد و $B=\{1,3,5,7,9\}$ باشد، آیا دو مجموعه برابرند؟ — بله، چون هر دو دقیقاً اعضای ۱، ۳، ۵، ۷ و ۹ را دارند.

۵) چهارگزینه‌ای: کدام گزینه درست است؟

• الف) مجموعه تهی هیچ زیرمجموعه‌ای ندارد.
• ب) هر مجموعه زیرمجموعه خودش است.
• ج) اگر A زیرمجموعه B باشد، آن‌گاه B هم زیرمجموعه A است.
• د) تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه ۳ عضوی ۶ است.

۶) اگر مجموعه‌ای ۵ عضو داشته باشد، چند زیرمجموعه سره دارد؟ — باید خود مجموعه را کنار بگذاریم، پس جواب $2^5-1=31$ است.

مثال مشابه:

مجموعه M با اعضای ۱ و ۲ را در نظر بگیر. زیرمجموعه‌هایش عبارت‌اند از: تهی، {۱}، {۲} و {۱،۲}. یعنی $2^2=4$ زیرمجموعه و ۳ زیرمجموعه سره. اگر در سؤال بپرسند «چند زیرمجموعه سره دارد؟» جواب ۳ است، چون خود مجموعه شمرده نمی‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

خودت یک مجموعه ۴ عضوی بساز، همه زیرمجموعه‌هایش را بنویس و بشمار؛ اگر ۱۶ تا شد، فرمول دو به قوه n را درست فهمیده‌ای. برای تمرین بیشتر، با نمودار ون نشان بده که یک مجموعه چگونه داخل مجموعه دیگر قرار می‌گیرد.