محاسبه K از اختلاف تعداد زیرمجموعه‌ها

نهم ریاضی نهم

اختلاف تعداد زیر مجموعه های مجموعه K+2 عضوی با مجموعه K-2 عضوی 480 است مقدار K برار است با

ایلا امینی

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر با ۲ به توان n است.

گام‌به‌گام:

۱) تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه K+2 عضوی: $2^{K + 2}$
۲) تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه K-2 عضوی: $2^{K - 2}$
۳) اختلاف این دو برابر ۴۸۰ است: $2^{K + 2} - 2^{K - 2} = 480$
۴) از $2^{K - 2}$ فاکتور می‌گیریم: $2^{K - 2} (2^{4} - 1) = 480$
۵) محاسبه داخل پرانتز: $2^{4} = 16$ → $16 - 1 = 15$
۶) معادله: $2^{K - 2} \times 15 = 480$ → $2^{K - 2} = 32$
۷) عدد ۳۲ را به توان ۲ تبدیل می‌کنیم: $32 = 2^{5}$
۸) بنابراین: $2^{K - 2} = 2^{5}$ → $K - 2 = 5$
۹) حل معادله: $K = 7$

پاسخ نهایی: مقدار K برابر ۷ است.

مثال مشابه: اگر اختلاف تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه m+3 عضوی و m-1 عضوی برابر ۲۲۴ باشد، m چقدر است؟ (راه حل: $2^{m + 3} - 2^{m - 1} = 224$ → $2^{m - 1} (16 - 1) = 224$ → $2^{m - 1} = 14.93$ → این مسئله جواب صحیح ندارد چون توان ۲ باید عدد صحیح باشد)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که اگر تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه ۱۰ عضوی چند برابر تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه ۷ عضوی است؟ (پاسخ: $\frac{2^{10}}{2^{7}} = 2^{3} = 8$ برابر)