حاصل $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{4^{n + 1}} - {4^{ - n + 1}}}}{{{2^{2n - 1}} + {4^n}}}$ کدام است؟ $(n \in \mathbb{N})$

اگر \[f(x) = \frac{1}{{{2^{\tan x}}}}\] باشد، آنگاه \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x)\] و \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x)\] به ترتیب کدام است؟

برای تابع پیوستۀ f می‌دانیم \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{{x^2} - 1}} = - \frac{1}{2}\] است. در این صورت \[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 - 2h)}}{h}\] کدام است؟

اگر $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}[x]\,\,\,\,\,\,\,x > - 1\\1 - [x]\,\,\,\,\,\,\,x \le - 1\end{array} \right.$، آنگاه حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f({x^2} - 1)$ کدام است؟

حاصل \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{4}{x} - 5}}\] کدام است؟