مثلث قائم‌الزاویة متساوی‌الساقین \[(\mathop A\limits^ \wedge   = {90^ \circ })\mathop {ABC}\limits^\Delta  \] مفروض است. نقطة M واقع در وسط AB را نسبت به ضلع AC بازتاب می‌کنیم و سپس تصویر آن را نسبت به ضلع BC بازتاب می‌کنیم و \[M'\] می‌نامیم. طول \[MM'\] چند برابر طول وتر مثلث \[\mathop {ABC}\limits^\Delta  \] است؟

چهار نقطۀ $A\,( - 7\,,\,8)$، $B\,(10\,,\,0)$، $M\,(0\,,\,a)$ و $N(2\,,\,a)$ را در صفحۀ مختصات در نظر بگیرید. کمترین اندازۀ خط شکستۀ AMNB کدام است؟

دو دایره \[C\,(A\,,12)\] و \[C'(D,2)\] با \[AD = 8\] در یک صفحه قرار دارند. اگر M مرکز تجانس مستقیم دو دایره و N مرکز تجانس معکوس آنها باشد ، کدام گزاره زیر درست است؟

دو شهر A و B مطابق شکل در یک طرف رودخانه واقع‌اند. می‌خواهیم جاده‌ای از A به B بسازیم به طوری که 6 کیلومتر از این جاده در ساحل رودخانه ساخته شود. اگر طول کوتاه‌ترین مسیر K باشد و E نقطة روی رودخانه باشد که $AE + EB$ کمترین مقدار ممکن است و $AE + EB = 13$ باشد، در مورد K کدام گزینه درست است؟ 

در صفحه دو زاویه $x\hat{O}y$ و $x\hat{O}z$ در رأس $O$ و ضلع $Ox$ مشترک هستند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که ضلع‌های دو زاویه را قطع کند و پاره خط‌های محدود به آن‌ها برابر باشند. تعداد جواب‌ها کدام است؟