مکان هندسی نقاطی از فضا که فاصلۀ آنها از قرینه‌شان نسبت به محور xها، نصف فاصلۀ آنها از تصویرشان روی صفحۀ xoy باشد، کدام است؟

دو بردار a و b با معلومات $|\vec a|\, = 5$، $|\vec b|\, = 7$ و $\vec a - \vec b = 2\vec i + \vec j - 3\vec k$ مفروض‌اند. تصویر قائم بردار b بر روی بردار a، چند برابر بردار a است؟

اگر نقاط $A(1\,,\,2\,,\,3)$، $B(2\,,\,3\,,\, - 1)$ و $D( - 2\,,\, - 1\,,\,5)$ رئوس متوازی‌الاضلاع ABCD باشند، طول قطر AC کدام است؟

اگر $\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}$ و $\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b}$ دو بردار غیر صفر باشند و $\left| \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}\times \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b} \right|=۲\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}.\left( \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}\times \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b} \right)-\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b}.\left( \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}\times ۲\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b}+\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a} \right)$، زاویه بین دو بردار $\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{a}$ و $\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{b}$ کدام است؟

چهار ضلعی ABCD مربعی به ضلع واحد است. حاصل عبارت $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}$ کدام است؟