تفریق عدد با معکوسش و مربع جمع

دهم ریاضی و آمار 1

اگر حاصل تفریق عددی با معکوسش برابر ۴ شود مربع حاصل جمع همان عدد با معکوسش برابر چیست

محمد حسین ملایی

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! این یک مسئله جبری جالب است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: ابتدا عدد را پیدا کن، سپس جمع آن با معکوسش را محاسبه کن و در نهایت مربع آن را به دست بیاور.

گام‌به‌گام:

۱) فرض می‌کنیم عدد مورد نظر x است. معکوس آن (عدد برعکس) می‌شود 1/x.
۲) طبق صورت مسئله: تفریق عدد با معکوسش برابر ۴ است. یعنی:
$x - \frac{1}{x} = 4$
۳) دو طرف معادله را در x ضرب می‌کنیم (با فرض x ≠ ۰):
$x^{2} - 1 = 4 x$
۴) معادله را به فرم استاندارد در می‌آوریم:
$x^{2} - 4 x - 1 = 0$
۵) حالا باید جمع عدد با معکوسش را پیدا کنیم:
$x + \frac{1}{x}$
۶) نیازی به حل معادله و پیدا کردن x نیست! می‌توانیم از رابطه‌ای استفاده کنیم. می‌دانیم:
${(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$
۷) همچنین می‌دانیم:
${(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$
۸) با کم کردن این دو رابطه از هم:
${(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4$
۹) می‌دانیم $x - \frac{1}{x} = 4$ ، پس:
${(x + \frac{1}{x})}^{2} - 4^{2} = 4$
۱۰) پس:
${(x + \frac{1}{x})}^{2} - 16 = 4$
۱۱) بنابراین:
${(x + \frac{1}{x})}^{2} = 20$

پاسخ نهایی: مربع حاصل جمع عدد با معکوسش برابر ۲۰ است.

مثال مشابه: اگر تفریق یک عدد با معکوسش برابر ۲ بود، مربع جمع آن عدد با معکوسش برابر ۸ می‌شد. (چون ۲² = ۴، و ۴ + ۴ = ۸)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی معادله $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ را حل کنی و مقادیر x را پیدا کنی. سپس جمع x + 1/x را محاسبه کنی و مربع آن را به دست بیاوری تا مطمئن شوی پاسخ ۲۰ می‌شود.