حل معادله درجه دوم با همه روش‌ها

راهنمایی کوتاه: اول معادله را به شکل استاندارد (برابر صفر) می‌بریم، بعد با چند روش مختلف ریشه‌ها را پیدا و بررسی می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) شکل استاندارد: $x^2+6x-5=0$ پس $a=1$ ، $b=6$ و $c=-5$.

۲) روش تجزیه (فاکتورگیری): باید دو عدد پیدا کنیم که حاصل‌ضربشان ‎−۵ و جمعشان ۶ باشد. چنین دو عدد صحیحی وجود ندارد، پس تجزیه با اعداد صحیح کار نمی‌کند و سراغ روش‌های دیگر می‌رویم.

۳) روش مربع کامل: نصف ضریب $x$ یعنی ۳ را مربع می‌کنیم و به دو طرف اضافه می‌کنیم: $x^2+6x+9=5+9$ یعنی ${(x+3)}^2=14$ و در نتیجه $x=-3\pm \sqrt{14}$.

۴) روش فرمول عمومی (دلتا): $\Delta =6^2-4\left(1\right)(-5)=36+20=56$ ، پس $x=\frac{-6\pm \sqrt{56}}{2}=-3\pm \sqrt{14}$. چون $\Delta >0$ دو ریشه حقیقی متمایز داریم.

۵) روش نمودار و مقدار تقریبی: سهمی $y=x^2+6x-5$ محور $x$ها را در دو نقطه می‌بُرد: $x\approx 0.74$ و $x\approx -6.74$ (رأس سهمی در $x=-3$ است).

۶) بررسی جواب با رابطه ریشه‌ها: جمع ریشه‌ها باید $-6$ و ضربشان $-5$ شود؛ هر دو درست است و جواب‌ها تأیید می‌شوند.

پاسخ نهایی: $x=-3+\sqrt{14}$ و $x=-3-\sqrt{14}$ (تقریباً ۰٫۷۴ و −۶٫۷۴).

مثال مشابه: $x^2+4x=6$ را حل کن. با مربع کامل داریم ${(x+2)}^2=10$ و بنابراین $x=-2\pm \sqrt{10}$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: علامت $\Delta$ به تو می‌گوید معادله چند جواب واقعی دارد. حالا خودت را امتحان کن: اگر $\Delta$ منفی باشد، معادله چند ریشه حقیقی دارد؟ گزینه‌ها: ۱) صفر ۲) یک ۳) دو — گزینه ۱ (صفر ریشه حقیقی).