راهنمایی کوتاه: بیایید با هم بررسی کنیم که آیا این ویژگی برای همه توابع ثابت برقرار است یا نه.
گامبهگام:
- ۱) ابتدا تعریف تابع ثابت را به یاد بیاوریم: تابع ثابت تابعی است که برای هر ورودی x، خروجی یکسان و ثابتی دارد. یعنی f(x) = c که در آن c یک عدد ثابت است.
- ۲) حالا سمت چپ تساوی داده شده را بررسی میکنیم: f(kx). در تابع ثابت، مهم نیست ورودی چیست، خروجی همیشه c است. پس f(kx) = c.
- ۳) سمت راست تساوی را بررسی میکنیم: kf(x). از آنجایی که f(x) = c، پس kf(x) = k × c = kc.
- ۴) حالا دو طرف را مقایسه میکنیم: آیا c = kc برای همه مقادیر k برقرار است؟
- ۵) این تساوی فقط در دو حالت برقرار است: یا وقتی که c = ۰ باشد (تابع ثابت صفر)، یا وقتی که k = ۱ باشد. برای سایر مقادیر k و c ≠ ۰، این تساوی برقرار نیست.
- ۶) چون در صورت سوال گفته شده "در تابع ثابت" (به طور کلی)، و نه فقط برای تابع ثابت صفر یا فقط وقتی k=۱، پس این ویژگی برای همه توابع ثابت به طور کلی صادق نیست.
پاسخ نهایی: عبارت داده شده غلط است. ویژگی f(kx) = kf(x) برای همه توابع ثابت برقرار نیست (به جز حالت خاص تابع ثابت صفر یا وقتی k=۱).
مثال مشابه: فرض کنید f(x) = ۵ (یک تابع ثابت). حالا k = ۲ را در نظر بگیرید:
سمت چپ: f(2x) = ۵ (چون تابع ثابت است)
سمت راست: ۲f(x) = ۲ × ۵ = ۱۰
میبینیم که ۵ ≠ ۱۰، پس تساوی برقرار نیست.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: این ویژگی (f(kx) = kf(x)) در واقع ویژگی توابع همگن از درجه یک است. توابع خطی که از مبدأ مختصات میگذرند (مانند f(x) = ax) این ویژگی را دارند، اما توابع ثابت (به جز f(x) = ۰) این ویژگی را ندارند.
