محیطی و محاطی: ۳۰ سوال تست

راهنمایی کوتاه: دایره محیطی از رأس‌ها می‌گذرد و دایره محاطی به ضلع‌ها مماس است.

گام‌به‌گام:

• ۱) دایره محیطی مثلث: مرکز آن برخورد عمودمنصف‌هاست.
• ۲) دایره محاطی مثلث: مرکز آن برخورد نیمسازهاست.
• ۳) در مثلث با اضلاع $a,b,c$ و مساحت $\Delta$: $R=\frac{abc}{4\Delta }$ و $r=\frac{\Delta }{s}=\frac{2\Delta }{P}$.
• ۴) در مثلث قائم‌الزاویه: $R=\frac{c}{2}$ و $r=\frac{a+b-c}{2}$.
• ۵) در مثلث متساوی‌الاضلاع: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ و $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.
• ۶) در چندضلعی منتظم: $a=2R\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ و $a=2r\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$.

پاسخ نهایی: این ۳۰ سوال تست برای تمرین است؛ اول خودت حل کن، بعد پاسخ‌ها را ببین.

• ۱) دایره محیطی مثلث چه ویژگی دارد؟ الف) از سه رأس می‌گذرد. ب) به سه ضلع مماس است. ج) همیشه داخل مثلث است. د) فقط به یک ضلع مماس است.
• ۲) دایره محاطی مثلث چه ویژگی دارد؟ الف) از سه رأس می‌گذرد. ب) به هر سه ضلع مماس است. ج) همیشه بیرون مثلث است. د) فقط از یک رأس می‌گذرد.
• ۳) در مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۶، شعاع دایره محیطی کدام است؟ الف) $2\sqrt{3}$ ب) $3\sqrt{3}$ ج) $\sqrt{3}$ د) $6\sqrt{3}$
• ۴) در همان مثلث، شعاع دایره محاطی کدام است؟ الف) $2\sqrt{3}$ ب) $\sqrt{3}$ ج) $3\sqrt{3}$ د) ۶
• ۵) در مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع ۶، ۸ و ۱۰، شعاع دایره محیطی چند است؟ الف) ۴ ب) ۵ ج) ۶ د) ۱۰
• ۶) در همان مثلث، شعاع دایره محاطی چند است؟ الف) ۱ ب) ۲ ج) ۳ د) ۴
• ۷) فرمول شعاع دایره محیطی مثلث کدام است؟ الف) $\frac{abc}{4\Delta }$ ب) $\frac{abc}{\Delta }$ ج) $\frac{4\Delta }{abc}$ د) $\frac{\Delta }{abc}$
• ۸) اگر $P$ محیط مثلث و $\Delta$ مساحت آن باشد، $r$ کدام است؟ الف) $\frac{\Delta }{P}$ ب) $\frac{2\Delta }{P}$ ج) $\frac{P}{2\Delta }$ د) $\frac{\Delta }{2P}$
• ۹) در مربع با ضلع ۴، شعاع دایره محیطی کدام است؟ الف) ۲ ب) $2\sqrt{2}$ ج) ۴ د) $\sqrt{2}$
• ۱۰) در شش‌ضلعی منتظم با ضلع ۲، شعاع دایره محیطی چند است؟ الف) ۱ ب) ۲ ج) $\sqrt{3}$ د) $2\sqrt{3}$
• ۱۱) در همان شش‌ضلعی، شعاع دایره محاطی کدام است؟ الف) ۱ ب) $\sqrt{3}$ ج) ۲ د) $2\sqrt{3}$
• ۱۲) دایره محیطی و دایره محاطی یک چندضلعی منتظم هم‌مرکزند؟ الف) بله ب) خیر ج) فقط در مثلث د) فقط در مربع
• ۱۳) در چهارضلعی محاطی، مجموع دو زاویه مقابل چند درجه است؟ الف) ۹۰ ب) ۱۸۰ ج) ۲۷۰ د) ۳۶۰
• ۱۴) در چهارضلعی محیطی، کدام رابطه برقرار است؟ الف) مجموع اضلاع مقابل برابر است. ب) مجموع زوایای مقابل ۱۸۰ است. ج) همه اضلاع برابرند. د) همه زوایا ۹۰ هستند.
• ۱۵) مرکز دایره محیطی مثلث، برخورد کدام خطوط است؟ الف) نیمسازها ب) میانه‌ها ج) عمودمنصف‌ها د) ارتفاع‌ها
• ۱۶) مرکز دایره محاطی مثلث، برخورد کدام خطوط است؟ الف) عمودمنصف‌ها ب) نیمسازها ج) میانه‌ها د) ارتفاع‌ها
• ۱۷) در مثلث متساوی‌الساقین با قاعده ۸ و ساق ۵، شعاع دایره محاطی کدام است؟ الف) $\frac{4}{3}$ ب) $\frac{3}{2}$ ج) $\frac{5}{4}$ د) ۲
• ۱۸) در همان مثلث، شعاع دایره محیطی کدام است؟ الف) $\frac{25}{6}$ ب) $\frac{5}{2}$ ج) ۴ د) $\frac{25}{4}$
• ۱۹) در مثلث با اضلاع ۳، ۴ و ۵، شعاع دایره محاطی چند است؟ الف) ۱ ب) ۲ ج) ۳ د) ۰٫۵
• ۲۰) در مثلث متساوی‌الاضلاع، نسبت $\frac{R}{r}$ چند است؟ الف) ۱ ب) $\sqrt{2}$ ج) ۲ د) ۳
• ۲۱) در مربع، نسبت $\frac{R}{r}$ چند است؟ الف) ۱ ب) $\sqrt{2}$ ج) ۲ د) $2\sqrt{2}$
• ۲۲) اگر دایره‌ای به همه اضلاع یک لوزی مماس باشد، مرکز آن کجاست؟ الف) برخورد قطرها ب) وسط یک ضلع ج) یک رأس د) بیرون لوزی
• ۲۳) مرکز دایره محیطی مثلث قائم‌الزاویه کجاست؟ الف) وسط وتر ب) وسط ضلع کوچک ج) داخل مثلث د) برخورد نیمسازها
• ۲۴) اگر $r=3$ و $s=10$ باشد، مساحت مثلث چند است؟ الف) ۱۳ ب) ۳۰ ج) ۶۰ د) ۲۰
• ۲۵) در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با $R=5$، طول وتر چند است؟ الف) ۵ ب) ۱۰ ج) ۲٫۵ د) ۲۵
• ۲۶) در n-ضلعی منتظم، کدام رابطه درست است؟ الف) $r=R\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ب) $r=R\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ج) $r=R\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ د) $r=\frac{R}{n}$
• ۲۷) در n-ضلعی منتظم، رابطه ضلع $a$ با $R$ کدام است؟ الف) $a=2R\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ب) $a=R\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ج) $a=2R\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$ د) $a=\frac{R}{n}$
• ۲۸) در n-ضلعی منتظم، رابطه ضلع $a$ با $r$ کدام است؟ الف) $a=2r\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ب) $a=2r\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ ج) $a=r\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ د) $a=\frac{r}{n}$
• ۲۹) در مثلث با اضلاع ۷، ۸ و ۹، شعاع دایره محاطی کدام است؟ الف) $\sqrt{5}$ ب) $2\sqrt{5}$ ج) ۵ د) $\sqrt{10}$
• ۳۰) در همان مثلث، شعاع دایره محیطی کدام است؟ الف) $\frac{21\sqrt{5}}{10}$ ب) $\frac{7\sqrt{5}}{2}$ ج) $\frac{9\sqrt{5}}{5}$ د) $3\sqrt{5}$

پاسخ‌ها: ۱-الف، ۲-ب، ۳-الف، ۴-ب، ۵-ب، ۶-ب، ۷-الف، ۸-ب، ۹-ب، ۱۰-ب، ۱۱-ب، ۱۲-الف، ۱۳-ب، ۱۴-الف، ۱۵-ج، ۱۶-ب، ۱۷-الف، ۱۸-الف، ۱۹-الف، ۲۰-ج، ۲۱-ب، ۲۲-الف، ۲۳-الف، ۲۴-ب، ۲۵-ب، ۲۶-الف، ۲۷-الف، ۲۸-الف، ۲۹-الف، ۳۰-الف.

مثال مشابه: در مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع ۵، ۱۲ و ۱۳: $R=\frac{13}{2}=6.5$ و $r=\frac{5+12-13}{2}=2$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: برای هر شکل، مرکز دایره را جدا مشخص کن و بنویس «محیطی» یعنی از رأس‌ها می‌گذرد یا «محاطی» یعنی به ضلع‌ها مماس است؛ سپس فرمول مناسب را انتخاب کن.