فاصله مرکز تجانس مستقیم از مرکز دایره بزرگ

سلام! سوال خوبی پرسیدی. این سوال درباره‌ی هندسه و مفهوم «تجانس» یا «همگونی» بین دو دایره است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: مرکز تجانس مستقیم نقطه‌ای روی خط واصل دو مرکز است که نسبت فاصله‌هایش از مراکز، برابر با نسبت شعاع‌هاست.

گام‌به‌گام:

• ۱) اطلاعات مسئله را مشخص می‌کنیم:
  شعاع دایره اول (کوچک): $r1=3$
  شعاع دایره دوم (بزرگ): $r2=5$
  فاصله دو مرکز: $O1O2=12$
• ۲) مرکز تجانس مستقیم (H) روی خط O1O2 و در سمت مخالف O1 نسبت به O2 قرار دارد (چون شعاع‌ها متفاوتند و مرکز تجانس خارج از پاره‌خط بین دو مرکز است).
• ۳) نسبت فاصله‌ها از مرکز تجانس برابر با نسبت شعاع‌هاست:
  $\frac{HO2}{HO1}=\frac{r2}{r1}=\frac{5}{3}$
• ۴) می‌دانیم $HO1=HO2+O1O2=HO2+12$ (چون H خارج از پاره‌خط و در سمت مخالف O1 است).
• ۵) نسبت بالا را با جایگذاری حل می‌کنیم:
  $\frac{HO2}{HO2+12}=\frac{5}{3}$
  با ضرب طرفین: $3\times HO2=5\times (HO2+12)$
  $3HO2=5HO2+60$
  $3HO2-5HO2=60$
  $-2HO2=60$
  $HO2=-30$
• ۶) علامت منفی نشان می‌دهد که H در جهت مخالف فرض اولیه ما نسبت به O2 قرار دارد (یعنی در واقع بین دو مرکز نیست). اما قدر مطلق فاصله مهم است. سوال می‌پرسد «فاصله مرکز تجانس مستقیم از مرکز دایره بزرگتر» که همان $HO2$ است. پس جواب قدر مطلق آن است.

پاسخ نهایی: فاصله مرکز تجانس مستقیم از مرکز دایره بزرگتر (O2) برابر با $30$ واحد است. (علامت منفی در محاسبات جهت را نشان می‌دهد، اما فاصله همیشه مثبت است.)

مثال مشابه: اگر شعاع‌ها ۲ و ۶ بودند و فاصله مراکز ۱۶ بود، نسبت می‌شد ۶/۲=۳. سپس معادله $\frac{HO2}{HO2+16}=3$ را حل می‌کردیم که به $HO2=24$ می‌رسید.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: مفهوم تجانس (همگونی) در هندسه، تبدیل‌ای است که شکل‌ها را با حفظ زوایا و نسبت اضلاع، بزرگ یا کوچک می‌کند. برای دو دایره، مرکز تجانس نقطه‌ای است که اگر از آن خطی به هر نقطه از یک دایره بکشیم، نقطه متناظر روی دایره دیگر را قطع می‌کند. برای دو دایره متحدالمرکز، مرکز تجانس همان مرکز مشترک است!