برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد درجه دوم درآوریم.
- معادله داده شده: x² - ax + ۳ = ۲x - ۱
- با جابهجایی همه عبارات به یک طرف، داریم: x² - (a + ۲)x + ۴ = ۰
حالا باید شرایطی را بررسی کنیم که این معادله دو ریشه حقیقی متمایز داشته باشد.
گامبهگام:
- برای داشتن دو ریشه حقیقی متمایز، دلتای معادله باید مثبت باشد.
- دلتا = (a + ۲)² - ۴(۱)(۴) = a² + ۴a + ۴ - ۱۶ = a² + ۴a - ۱۲
- پس باید داشته باشیم: a² + ۴a - ۱۲ > ۰
- برای حل این نامعادله، ابتدا ریشههای معادله a² + ۴a - ۱۲ = ۰ را پیدا میکنیم.
- ریشهها: a = (-۴ ± √(۱۶ + ۴۸)) / ۲ = (-۴ ± √۶۴) / ۲ = (-۴ ± ۸) / ۲
- پس a = ۲ یا a = -۶
- با توجه به اینکه ضریب a² مثبت است، نامعادله برای a < -۶ یا a > ۲ درست است.
پاسخ نهایی: محدوده تغییرات a میتواند (-∞, -۶) ∪ (۲, ∞) باشد.
مثال مشابه: اگر معادله x² - (m + ۱)x + m = ۰ دو ریشه حقیقی متمایز داشته باشد، محدوده m را بیابید.
