درصد طلا در آلیاژ طلا و نقره

راهنمایی کوتاه: با استفاده از فرمول گرمای ویژه و ترکیب دو فلز، درصد جرمی طلا را محاسبه می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) اطلاعات مسئله را مشخص می‌کنیم:
  جرم کل آلیاژ (m_کل) = ۲۱ گرم
  گرمای داده شده (Q) = ۱۹/۲ ژول
  تغییر دما (ΔT) = ۳۸۲ - ۳۷۲ = ۱۰ کلوین
  گرمای ویژه نقره (c_Ag) = ۰.۱۲ ژول بر گرم بر کلوین
  گرمای ویژه طلا (c_Au) = ۰.۲۴ ژول بر گرم بر کلوین
• ۲) فرض می‌کنیم جرم طلا = m_Au و جرم نقره = m_Ag باشد. پس:
  m_Au + m_Ag = ۲۱ گرم
• ۳) گرمای کل داده شده برابر است با مجموع گرمای جذب شده توسط طلا و نقره:
  Q = Q_Au + Q_Ag
  Q = (m_Au × c_Au × ΔT) + (m_Ag × c_Ag × ΔT)
• ۴) اعداد را جایگذاری می‌کنیم:
  ۱۹/۲ = (m_Au × ۰.۲۴ × ۱۰) + (m_Ag × ۰.۱۲ × ۱۰)
  ۱۹/۲ = ۲.۴m_Au + ۱.۲m_Ag
• ۵) از رابطه m_Ag = ۲۱ - m_Au استفاده کرده و در معادله بالا جایگذاری می‌کنیم:
  ۱۹/۲ = ۲.۴m_Au + ۱.۲(۲۱ - m_Au)
  ۱۹/۲ = ۲.۴m_Au + ۲۵.۲ - ۱.۲m_Au
  ۱۹/۲ = ۱.۲m_Au + ۲۵.۲
• ۶) معادله را حل می‌کنیم:
  ۱.۲m_Au = ۱۹/۲ - ۲۵.۲ = -۶
  m_Au = -۶ ÷ ۱.۲ = -۵ گرم
• ۷) نتیجه منفی شد! این نشان می‌دهد داده‌های مسئله با هم سازگار نیستند یا ممکن است در نوشتن اعداد اشتباهی رخ داده باشد. اما اگر فرض کنیم گرمای داده شده ۱۹۲ ژول باشد (نه ۱۹/۲)، محاسبه درست می‌شود:
  ۱۹۲ = ۲.۴m_Au + ۱.۲(۲۱ - m_Au)
  ۱۹۲ = ۲.۴m_Au + ۲۵.۲ - ۱.۲m_Au
  ۱۹۲ = ۱.۲m_Au + ۲۵.۲
  ۱.۲m_Au = ۱۶۶.۸
  m_Au = ۱۳۹ گرم → از ۲۱ گرم بیشتر است! باز هم ناممکن است.
• ۸) با توجه به مقادیر گرمای ویژه، احتمالاً گرمای داده شده باید ۱۹۲۰ ژول باشد تا پاسخ معقول شود:
  ۱۹۲۰ = ۲.۴m_Au + ۱.۲(۲۱ - m_Au)
  ۱۹۲۰ = ۱.۲m_Au + ۲۵.۲
  ۱.۲m_Au = ۱۸۹۴.۸
  m_Au = ۱۵۷۹ گرم → باز هم غیرممکن!

پاسخ نهایی: با اعداد داده شده در سؤال (۱۹/۲ ژول)، جرم طلا منفی می‌شود که فیزیکی نیست. احتمالاً در عدد گرمای داده شده یا گرمای ویژه‌ها اشتباه تایپی وجود دارد. در یک مسئله استاندارد، با گرمای مناسب، درصد طلا از رابطه زیر به‌دست می‌آید:
$m{\mathrm{Au}}_{}=\frac{Q/\mathrm{\Delta T}-c_{\mathrm{Ag}}\times m{\mathrm{کل}}_{}}{c_{\mathrm{Au}}-c_{\mathrm{Ag}}}$
سپس درصد = (m_Au ÷ m_کل) × ۱۰۰

مثال مشابه: اگر آلیاژی ۱۰۰ گرمی از دو فلز A و B با گرمای ویژه‌های ۰.۵ و ۰.۲ داشته باشیم و ۳۰۰ ژول گرما به آن بدهیم تا دمایش ۵ درجه افزایش یابد، می‌توانیم درصد هر فلز را حساب کنیم.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: مفهوم گرمای ویژه و ظرفیت گرمایی مواد مختلف را مرور کن. مسئله‌های مخلوط کردن مواد با دماهای مختلف نیز شبیه این محاسبات هستند.